四、计算题 (本题满分 9 分)
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1+x^{2}, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, & x>0,
\end{array}\right.$ 求 $\int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$
错误的解法（错误的原因是没有注意到在定积分运算中，若积分变量发生改变，则积分上下限也要跟着变）：
$$
\int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{~ d} x=\int_{1}^{2} f(x-2) \mathrm{~ d} x+\int_{2}^{3} f(x-2) \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int_{1}^{2} f(x-2) \mathrm{~ d} (x-2)+\int_{2}^{3} f(x-2) \mathrm{~ d} (x-2)=
$$
$$
\int_{1}^{2} f(t) \mathrm{~ d} t+\int_{2}^{3} f(t) \mathrm{~ d} t
$$
正确的解法：
$$
t=x-2 \Rightarrow t \in(-1,1) \Rightarrow \mathrm{~ d} x=\mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
\int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{~ d} x=\int_{-1}^{1} f(t) \mathrm{~ d} t=
$$
$$
\int_{-1}^{0} f(t) \mathrm{~ d} t + \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{~ d} t=
$$
$$
\int_{-1}^{0}\left(1+x^{2}\right) \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{1} e^{-x} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\left.x\right|_{-1} ^{0}+\left.\frac{1}{3} x^{3}\right|_{-1} ^{0}-\left.e^{-x}\right|_{0} ^{1}=
$$
$$
0+1+0+\frac{1}{3}-\left(e^{-1}-1\right)=
$$
$$
\frac{7}{3}-\frac{1}{e} .
$$