1992 年考研数二真题解析

四、计算题 (本题满分 9 分)

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x^2,& x⩽0,\\ {\mathrm{e}}^{-x},& x>0,\end{array}$ 求 ${\int }_1^{3}f(x-2)\mathrm{d}x$

错误的解法（错误的原因是没有注意到在定积分运算中，若积分变量发生改变，则积分上下限也要跟着变）：

$${\int }_1^{3}f(x-2)\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x-2)\mathrm{d}x+{\int }_2^{3}f(x-2)\mathrm{d}x=$$

$${\int }_1^{2}f(x-2)\mathrm{d}(x-2)+{\int }_2^{3}f(x-2)\mathrm{d}(x-2)=$$

$${\int }_1^{2}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_2^{3}f(t)\mathrm{d}t$$

正确的解法：

$$t=x-2\Rightarrow t\in (-1,1)\Rightarrow \mathrm{d}x=\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$${\int }_1^{3}f(x-2)\mathrm{d}x={\int }_{-1}^{1}f(t)\mathrm{d}t=$$

$${\int }_{-1}^{0}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t=$$

$${\int }_{-1}^0(1+x^2)\mathrm{d}x+{\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x=$$

$${x|}_{-1}^0+{\frac{1}{3}{x}^3|}_{-1}^0-{e^{-x}|}_0^1=$$

$$0+1+0+\frac{1}{3}-(e^{-1}-1)=$$

$$\frac{7}{3}-\frac{1}{e}.$$