1992 年考研数二真题解析

二、选择题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)

(1) 当 $x\to 0$ 时, $x-\sin x$ 是 $x^2$ 的

(A) 低阶无穷小.
(B) 高阶无穷小.
(C) 等价无穷小.
(D) 同阶但非等价无穷小.

正确答案：B

$$x-\sin x=\frac{1}{6}{x}^3$$

(2) 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x⩽0,\\ x^2+x,& x>0,\end{array}$ 则

(A) $f(-x)=\{\begin{array}{ll}-x^2,& x⩽0,\\ -(x^2+x),& x>0.\end{array}$
(B) $f(-x)=\{\begin{array}{ll}-(x^2+x),& x<0,\\ -x^2,& x⩾0.\end{array}$ (C) $f(-x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x⩽0,\\ x^2-x,& x>0.\end{array}$
(D) $f(-x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x,& x<0,\\ x^2,& x⩾0.\end{array}$

正确答案：D

$$x>0\Rightarrow -x<0\Rightarrow f(-x)=(-x{)}^2=x^2$$

$$x=0\Rightarrow -x=0\Rightarrow f(-x)=(-x{)}^2=x^2$$

$$x<0\Rightarrow -x>0\Rightarrow f(-x)=(-x{)}^2-x=x^2-x$$

$$f(-x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& -x⩽0\\ x^2-x,& -x>0\end{array}\Rightarrow$$

$$f(-x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x⩾0\\ x^2-x,& x<0\end{array}$$

(3) 当 $x\to 1$ 时, 函数 $\frac{x^2-1}{x-1}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限

(A) 等于 $2$.
(B) 等于 $0$.
(C) 为 $\mathrm{\infty }$.
(D) 不存在但不为 $\mathrm{\infty }$.

正确答案：D

遇到 “$e^0$” 这种形式就要特别注意讨论正负性。

$$\frac{x^2-1}{x-1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=$$

$$(x+1)\cdot e^{\frac{1}{x-1}}$$

于是：

$$x\to 1^{+}\Rightarrow \frac{1}{x-1}=\frac{1}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow (x+1)\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=+\mathrm{\infty }$$

$$x\to 1^{-}\Rightarrow \frac{1}{x-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\mathrm{\infty }\Rightarrow (x+1)\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=0$$

(4) 设 $f(x)$ 连续, $F(x)={\int }_0^{x^2}f\left(t^2\right)\mathrm{d}t$, 则 $F^{\prime }(x)$ 等于

(A) $f\left(x^4\right)$.
(B) $x^{2}f\left(x^4\right)$.
(C) $2xf\left(x^4\right)$.
(D) $2xf\left(x^2\right)$.

正确答案：C

本题需看清题目要求解的是谁的原函数。

$$F^{\prime }(x)={\left(x^2\right)}^{\prime }\cdot f\left[{\left(x^2\right)}^2\right]=2xf\left(x^4\right)$$

(5) 若 $f(x)$ 的导函数是 $\sin x$, 则 $f(x)$ 有一个原函数为

(A) $1+\sin x$.
(B) $1-\sin x$.
(C) $1+\cos x$.
(D) $1-\cos x$.

正确答案：B

由于：

$$\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C_1$$

所以：

$$f^{\prime }(x)=\sin x\Rightarrow f(x)=-\cos x+C_1\Rightarrow$$

若：

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

则：

$$F(x)=-\sin x+C_2.$$