二、选择题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)
(1) 当 $x \rightarrow 0$ 时, $x-\sin x$ 是 $x^{2}$ 的
(A) 低阶无穷小.
(B) 高阶无穷小.
(C) 等价无穷小.
(D) 同阶但非等价无穷小.
正确答案：B
$$
x-\sin x=\frac{1}{6} x^{3}
$$
(2) 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+x, & x>0,\end{array}\right.$ 则
(A) $f(-x)=\left\{\begin{array}{ll}-x^{2}, & x \leqslant 0, \\ -\left(x^{2}+x\right), & x>0 .\end{array}\right.$
(B) $f(-x)=\left\{\begin{array}{ll}-\left(x^{2}+x\right), & x<0, \\ -x^{2}, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$ (C) $f(-x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}-x, & x>0 .\end{array}\right.$
(D) $f(-x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-x, & x<0, \\ x^{2}, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
正确答案：D
$$
x>0 \Rightarrow-x<0 \Rightarrow f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}
$$
$$
x=0 \Rightarrow-x=0 \Rightarrow f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}
$$
$$
x<0 \Rightarrow-x>0 \Rightarrow f(-x)=(-x)^{2}-x=x^{2}-x
$$
$$
f(-x)=\left\{\begin{array}{l}
x^{2}, & -x \leqslant 0 \\ x^{2}-x, & -x>0
\end{array} \Rightarrow\right.
$$
$$
f(-x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^{2}, & x \geqslant 0 \\ x^{2}-x, & x<0
\end{array}\right.
$$
(3) 当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^{2}-1}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
(A) 等于 $2$.
(B) 等于 $0$.
(C) 为 $\infty$.
(D) 不存在但不为 $\infty$.
正确答案：D
遇到 “$e^{0}$” 这种形式就要特别注意讨论正负性。
$$
\frac{x^{2}-1}{x-1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}=
$$
$$
(x+1) \cdot e^{\frac{1}{x-1}}
$$
于是：
$$
x \rightarrow 1^{+} \Rightarrow \frac{1}{x-1}=\frac{1}{0^{+}}=+\infty \Rightarrow(x+1) \cdot e^{\frac{1}{x-1}}=+\infty
$$
$$
x \rightarrow 1^{-} \Rightarrow \frac{1}{x-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty \Rightarrow(x+1) \cdot e^{\frac{1}{x-1}}=0
$$
(4) 设 $f(x)$ 连续, $F(x)=\int_{0}^{x^{2}} f\left(t^{2}\right) \mathrm{d} t$, 则 $F^{\prime}(x)$ 等于
(A) $f\left(x^{4}\right)$.
(B) $x^{2} f\left(x^{4}\right)$.
(C) $2 x f\left(x^{4}\right)$.
(D) $2 x f\left(x^{2}\right)$.
正确答案：C
本题需看清题目要求解的是谁的原函数。
$$
F^{\prime}(x)=\left(x^{2}\right)^{\prime} \cdot f\left[\left(x^{2}\right)^{2}\right]=2 x f\left(x^{4}\right)
$$
(5) 若 $f(x)$ 的导函数是 $\sin x$, 则 $f(x)$ 有一个原函数为
(A) $1+\sin x$.
(B) $1-\sin x$.
(C) $1+\cos x$.
(D) $1-\cos x$.
正确答案：B
由于：
$$
\int \sin x \mathrm{~ d} x=-\cos x+C_{1}
$$
所以：
$$
f^{\prime}(x)=\sin x \Rightarrow f(x)=-\cos x+C_{1} \Rightarrow
$$
若：
$$
F^{\prime}(x)=f(x)
$$
则：
$$
F(x)=-\sin x+C_{2} .
$$