1990 年考研数二真题解析

七、解答题 (本题满分 9 分)

过点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线, 该切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成一平面图形, 求此图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.

注意：关于本题中抛物线的相关知识，可以参考《抛物线的性质汇总》

设切点为 $P(x_0,y_0)$, 则：

$$y^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x-2}}\Rightarrow$$

$$k=y_0^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x_0-2}}\Rightarrow y-y_0=\frac{1}{2\sqrt{x_0-2}}(x-x_0)$$

$$y-\sqrt{x_0-2}=\frac{1}{2\sqrt{x_0-2}}(1-x_0)\Rightarrow$$

又：

$$x=1,y=0\Rightarrow 0-\sqrt{x_0-2}=\frac{1}{2\sqrt{x_0-2}}(1-x_0)$$

$$-(x_0-2)=\frac{1}{2}(-x_0)\Rightarrow$$

$$x_0=3,y_0=1$$

进而（圆锥体的体积公式为 $V_1=\frac{1}{3}Sh$, 其中 $S$ 为圆锥体的底面积，$h$ 为圆锥体的高度）：

$$V=\frac{\pi }{3}(3-1)\cdot 1^2-\pi {\int }_2^3(x-2)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$V=\frac{2\pi }{3}-{\pi (\frac{1}{2}{x}^2-2x)|}_2^3\Rightarrow$$

$$V=\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}$$

$$y-1=\frac{1}{2}(x-3)\Rightarrow$$

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$$

其中，圆锥体的体积 $V_1$ 也可以使用旋转体的体积公式求解：

$$V_1=\pi {\int }_1^3{(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2})}^2\mathrm{d}x=\frac{\pi }{4}{\int }_1^3(x-1{)}^2\mathrm{d}x=$$

$${\frac{\pi }{4}(\frac{1}{3}{x}^3+x-x^2)|}_1^3=$$

$$\frac{\pi }{4}[(9+3-9)-(\frac{1}{3}+1-1)]=$$

$$\frac{\pi }{4}[3-\frac{1}{3}]=\frac{2\pi }{3}$$