1990 年考研数二真题解析

五、证明题 (本题满分 9 分)

证明: 当 $x>0$ 时,有不等式 $\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi }{2}$.

注意：此类证明题一般都是要构造函数求极值或者最值。

$$f(x)=\arctan x+\frac{1}{x}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}<0$$

又：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\arctan x+\frac{1}{x})=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\arctan x)=\frac{\pi }{2}$$

因此：

$$\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi }{2}$$