1989 年考研数二真题解析

六、证明题(本题满分 7 分)

证明: 方程 $\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-{\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\cos 2x}\mathrm{d}x$ 在区间 $(0,+\mathrm{\infty })$ 内有且仅有两个不同实根.

已知：

$$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$$

于是：

$${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\cos 2x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }\sqrt{2{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=$$

$$\sqrt{2}{\int }_0^{\pi }\sin x\mathrm{d}x=-{\sqrt{2}\cos x|}_0^{\pi }=-\sqrt{2}(-1-1)=2\sqrt{2}$$

于是：

$$\ln x=\frac{x}{e}-2\sqrt{2}\Rightarrow f(x)=\frac{x}{e}-\ln x-2\sqrt{2}$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{e}-\frac{1}{x}\Rightarrow f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=e$$

$$x=e\Rightarrow f(x)=1-1-2\sqrt{2}=-2\sqrt{2}<1$$

且：

$$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$$

$$x\in (0,e)\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$$

$$x\in (e,+\mathrm{\infty })\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$$

因此，该方程在 $(0,e)$ 和 $(e,+\mathrm{\infty })$ 上各有一个实根。