六、解答题 (本题满分 10 分)
设函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 \mathrm{e}^{x}$, 且其图形在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=x^{2}-x+1$ 在该点的切线重合, 求函数 $y=y(x)$.
齐通：
$$
\lambda^{2}-3 \lambda+2=0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\lambda=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}}{\lambda}
$$
$$
\lambda_{1} = \frac{3+1}{2}=2 \quad \lambda_{2}=\frac{3-1}{2}=1
$$
$$
y^{*}=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{x}
$$
非奇特：
$$
Y^{*}=x^{k}(A) e^{x} \Rightarrow Y^{*}=A x e^{x} \Rightarrow
$$
$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime}=A e^{x}+A x e^{x}
$$
$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}=A e^{x}+A e^{x}+A x e^{x}
$$
$$
\left(Y^{*}\right)^{\prime \prime}-3\left(Y^{*}\right)^{\prime}+2\left(Y^{*}\right)=2 e^{x} \Rightarrow
$$
$$
A+A+A x-3 A-3 A x+2 A x=2 \Rightarrow
$$
$$
-A=2 \Rightarrow A=-2
$$
$$
Y^{*}=-2 x e^{x} \Rightarrow
$$
因此，非齐通为：
$$
Y=y^{*}+Y^{*}=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{x}-2 x e^{x}
$$
又：
$$
Y^{\prime}=2 C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{x}-2\left(e^{x}+x e^{x}\right)
$$
$$
Y^{\prime}(0)=2 C_{1}+C_{2}-2
$$
$$
y=x^{2}-x+1 \Rightarrow y^{\prime}=2 x-1 \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime}(0)=-1 \Rightarrow
$$
$$
2 C_{1}+C_{2}-2=-1
$$
本体还有一个隐藏的结论：
$$
x=0 \Rightarrow Y(0)=1 \Rightarrow C_{1}+C_{2}=1 \Rightarrow
$$
因此：
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 C_{1}+C_{2}=1 \\
C_{1}+C_{2}=1
\end{array} \Rightarrow\right.
$$
$$
\begin{cases}
& C_{1} = 0 \\
& C_{2} = 1
\end{cases}
$$
于是：
$$
Y=e^{x}-2 x e^{x}
$$