五、解答题 (本题满分 8 分)
将长为 $a$ 的铁丝切成两段,一段围成正方形, 另一段围成圆形, 问这两段铁丝各长为多少时, 正方形与圆形的面积之和为最小.
圆的周长为 $x$, 则正方形的周长为 $a-x$.
又：
$$2 \pi r=x \Rightarrow r=\frac{x}{2 \pi}
$$
于是：
圆的面积 $S_{1}=\pi r^{2}=\frac{x^{2}}{4 \pi}$
正方形的面积 $S_{2}=\left(\frac{a-x}{4}\right)^{2} \Rightarrow$
$$
S_{2}=\frac{a^{2}+x^{2}-2 a x}{16}=\frac{a^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{16}-\frac{a x}{8} \Rightarrow
$$
$$
S=S_{1}+S_{2}=\frac{x^{2}}{4 \pi}+\frac{a^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{16}-\frac{a x}{8} \Rightarrow
$$
$$
S^{\prime}=\frac{x}{2 \pi}+\frac{x}{8}-\frac{a}{8}
$$
令 $S^{\prime}=0$, 则：
$$
\frac{8 x+2 \pi x}{16 \pi}=\frac{a}{8} \Rightarrow
$$
$$
\frac{8 x+2 \pi x}{2 \pi}=a \Rightarrow \frac{4 x+\pi x}{\pi}=\frac{a}{1} \Rightarrow
$$
$$
(4+\pi) x=a \pi \Rightarrow x=\frac{a \pi}{4+\pi}
$$
又：
$$
S^{\prime \prime}=\frac{1}{2 \pi}+\frac{1}{8}>0
$$
因此，当 $x=\frac{a \pi}{4+\pi}$ 时，取得最小的面积。