1988 年考研数二真题解析 - 第4页共8页

四、解答题 (本题满分 12 分)

作函数 $y = \frac{6}{x^{2} - 2 x + 4}$ 的图形，并写出下面的内容：

$y = \frac{6}{x^{2} - 2 x + 4} \Rightarrow$

$y^{'} = \frac{- 6 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 4)}^{2}} = \frac{12 - 12 x}{{(x^{2} - 2 x + 4)}^{2}}$

继续求导：

$y^{''} = \frac{- 12 {(x^{2} - 2 x + 4)}^{2} - (12 - 12 x) \cdot 2 (x^{2} - 2 x + 4) \cdot (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 4)}^{4}}$

$y^{''} = \frac{- 12 (x^{2} - 2 x + 4) - 2 (2 x - 2) (12 - 12 x)}{{(x^{2} - 2 x + 4)}^{3}}$

且 $x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3$ 恒大于零。

又：

$y^{'} = 0 \Rightarrow 12 - 12 x = 0 \Rightarrow x = 1$

因此唯一的极值为：

$y = \frac{6}{1 - 2 + 4} = 2$

又：

$y^{''} = 0 \Rightarrow - 12 (x^{2} - 2 x + 4) - 12 (2 x - 2)^{2} = 0 \Rightarrow$

$36 x (x - 2) = 0 \Rightarrow$

$x = 0 或者 x = 2$

因此，拐点为 $(0, \frac{3}{2})$ 和 $(2, \frac{3}{2})$ .

而且，当 $x < 0$ 和 $x > 2$ 时，二阶导大于零，是凹区间， $x \in (0, 2)$ 时，二阶导小于零，是凸区间。

由于该函数没有间断点，因此没有垂直渐近线，又：

$lim_{x \to \pm \infty} \frac{6}{x^{2} - 2 x + 4} = lim_{x \to \pm \infty} \frac{6}{(x - 1)^{2} + 3} = 0$

所以，该函数有一个水平渐近线为 $y = 0$ .

综上可知：

该函数的示意图如图 03 所示：

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