1988 年考研数二真题解析

三、解答题 (本题满分 15 分, 每小题 5 分)

(1) 已知 $f(x)={\mathrm{e}}^{x^2},f[\phi (x)]=1-x$ 且 $\phi (x)⩾0$, 求 $\phi (x)$ 并写出它的定义域.

$$f[\phi (x)]=1-x=e^{[\phi (x){]}^2}\Rightarrow$$

构造式子消去上面的 $e$:

$${\phi }^2(x)=\ln (1-x)\Rightarrow \phi (x)=\sqrt{\ln (1-x)}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}1–x>0\\ \mathrm{l}\mathrm{n}(1–x)⩾0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<1\\ 1–x⩾1\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}x<1\\ x⩽0\end{array}\Rightarrow$$

$$\phi (x)=\sqrt{\ln (1-x)},\mathrm{d}x⩽0$$

(2) 已知 $y=1+x{\mathrm{e}}^{xy}$, 求 ${y^{\prime }|}_{x=0}$ 及 ${y^{\prime \prime }|}_{x=0}$.

$$y^{\prime }=e^{xy}+xy\cdot e^{xy}\Rightarrow$$

$$x=0\Rightarrow y=1+0=1\Rightarrow$$

$$x=0,y=1\Rightarrow y^{\prime }=e^0+0=1$$

$$y^{\prime \prime }=y{e}^{x^{\prime y}}+y\cdot e^{xy}+x{y}^2\cdot e^{xy}\Rightarrow$$

$$x=0,y=1\Rightarrow y^{\prime \prime }=1\cdot e^0+1\cdot e^0+0=2$$

(3) 求微分方程 $y^{\prime }+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x(x^2+1)}$ 的通解 (一般解).

$$y(x)=[\int \frac{1}{x(x^2+1)}{e}^{\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]e^{-\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x}=$$

$$y(x)=[\int \frac{x}{x(x^2+1)}\mathrm{d}x+C]\cdot \frac{1}{x}\Rightarrow$$

$$y(x)=\frac{1}{x}\arctan x+\frac{C}{x}$$