1988 年考研数二真题解析

二、选择题 (本题满分 20 分, 每小题 4 分)

(1) $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+6x+1$ 的图形在点 $(0,1)$ 处切线与 $x$ 轴交点坐标是

(A) $(-\frac{1}{6},0)$.
(B) $(-1,0)$.
(C) $(\frac{1}{6},0)$.
(D) $(1,0)$.

正确答案：A

$$f^{\prime }(x)=x^2+x+6\Rightarrow x=0\Rightarrow k=6\Rightarrow$$

$$y-1=6x\Rightarrow y=6x+1\Rightarrow y=0,x=\frac{-1}{6}\Rightarrow$$

$$(-\frac{1}{6},0)$$

(2) 设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上皆可导, 且 $f(x)<g(x)$.

(A) $f(-x)>g(-x)$
(B) $f^{\prime }(x)<g^{\prime }(x)$.
(C) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)<\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$.
(D) ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t<{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$.

正确答案：C

A 选项：如论写成 $-x$ 还是 $x$ 都只是一个符号，不会改变函数本身的性质，本项错误。

B 选项：如图 01 可知，本项错误：

C 选项：由于 $f(x)<g(x)$, 因此一定有 $f(x_0)<g(x_0)$, 本想正确。

D 选项：由于负数的绝对值越大，负数本身就越小，因此，如果图 02 所示的情况可以说明 ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t>{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$

(3) 若函数 $y=f(x)$, 有 $f^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{1}{2}$, 则当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时, 该函数在 $x=x_0$ 处的微分 $\mathrm{d}y$

(A) 与 $\mathrm{\Delta }x$ 是等价无穷小.
(B) 与 $\mathrm{\Delta }x$ 是同阶无穷小.
(C) 是比 $\mathrm{\Delta }x$ 低阶的无穷小.
(D) 是比 $\mathrm{\Delta }x$ 高阶的无穷小.

正确答案：B

$$\frac{dy}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{dy}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{1}{2}\Rightarrow \text{ 同阶 }$$

(4) 由曲线 $y={\sin }^{\frac{3}{2}}x(0⩽x⩽\pi )$ 与 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积为

(A) $\frac{4}{3}$.
(B) $\frac{4}{3}\pi$.
(C) $\frac{2}{3}{\pi }^2$.
(D) $\frac{2}{3}\pi$.

正确答案：B

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{({\sin }^{\frac{3}{2}}x)}^2\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}x\mathrm{d}x=\pi \times 2\times {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$V=2\pi \cdot \frac{2}{3}\cdot 1=\frac{4\pi }{3}$$

(5) 设函数 $y=f(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+4y=0$ 的一个解, 且 $f\left(x_0\right)>0,f^{\prime }\left(x_0\right)=0$, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处

(A) 有极大值.
(B) 有极小值.
(C) 某邻域内单调增加.
(D) 某邻域内单调减少.

正确答案：A

注意：不要上来就去求解 $f(x)$, 在本题中，我们并不需要知道 $f(x)$ 具体是多少？

$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+4y=0\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }(x)-2f^{\prime }(x)+4f(x)=0\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)-2f^{\prime }\left(x_0\right)+4f\left(x_0\right)=0\Rightarrow$$

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=0,f\left(x_0\right)>0\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }\left(x_0\right)=-4f\left(x_0\right)<0$$