前言
在本文中，荒原之梦网从考试实战的角度出发，详细解析了考研数学二 1988 年的真题。
注意事项：
1. 按照原试卷结构，每页一类题，点击页码可以切换；
2. 蓝色部分为题干。
一、填空题(本题满分 20 分, 每小题 4 分)
(1) 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+a, & x \leqslant 0 \\ \mathrm{e}^{x}(\sin x+\cos x), & x>0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 则 $a=?$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} e^{x}(\sin x+\cos x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0}(2 x+a) \Rightarrow
$$
$$
a=1
$$
(2) 设 $f(t)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$, 则 $f^{\prime}(t)=?$
$$
f(t)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x} \Rightarrow
$$
$$
f(t)=t \cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x \cdot 2 t} \Rightarrow
$$
$$
f(t)=t e^{2 t} \Rightarrow f^{\prime}(t)=e^{2 t}+2 t e^{2 t}
$$
(3) 设 $f(x)$ 连续, 且 $\int_{0}^{x^{3}-1} f(t) \mathrm{d} t=x$, 则 $f(7)=?$
$$
\left[\int_{0}^{x^{3}-1} f(t) \mathrm{~ d} t=x\right]_{x}^{\prime} \Rightarrow 3 x^{2} f\left(x^{3}-1\right)=1 \Rightarrow
$$
由于当 $x=2$ 时，$x^{3}-1 = 7$, 因此，令 $x = 2$:
$$
12 f(7)=1 \Rightarrow f(7)=\frac{1}{12}
$$
(4) $\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{\tan x}=?$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{\tan x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} x^{\frac{-\tan x}{2}}=
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} e^{\frac{-\tan x}{2} \ln x}
$$
其中：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{-\tan x}{2} \ln x\right)=
$$
变形：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\ln x}{2 / \tan x} \Rightarrow
$$
洛必达运算：
$$
\frac{-1 / x}{2 \cdot\left(\frac{-1}{\cos ^{2} x}\right) /(\tan x)^{2}} =
$$
$$
\frac{\frac{-1}{x}}{2 \cdot \frac{-1}{\cos^{2} x} \cdot \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}}
$$
$$
\frac{\frac{-1}{x}}{\frac{-2}{\sin ^{2} x}}=\frac{1}{x} \cdot \frac{\sin x}{2}=\frac{x}{2}
$$
于是：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} e^{ \frac{x}{2} } = e^{0} =1
$$
(5) $\int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=?$
令：
$$
t=\sqrt{x} \Rightarrow t \in(0,2) \Rightarrow x=t^{2} \Rightarrow \mathrm{~ d} x=2 t \mathrm{~ d} t
$$
于是：
$$
\int_{0}^{4} e^{\sqrt{x}} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{2} e^{t} 2 t \mathrm{~ d} t=2 \int_{0}^{2} t e^{t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
又：
$$
\left(t e^{t}-e^{t}\right)^{\prime}=e^{t}+t e^{t}-e^{t}=t e^{t} \Rightarrow
$$
于是：
$$
2 \int_{0}^{2} t e^{t} \mathrm{~ d} t=2 \cdot\left(t e^{t}-e^{t}\right) \Big|_{0} ^{2}=
$$
$$
2\left[\left(2 e^{2}-e^{2}\right)-(0-1)\right]=2\left(e^{2}+1\right)
$$