若一个矩阵的秩为 3，是否意味着该矩阵的任意二阶子式都不为零？

一、前言

你是否有这样的疑问：若一个 $n$ 阶矩阵的秩为 $k$, 那是否意味着该矩阵的任意 $k-1$ 阶子式都不为零？（其中，$k – 1 > 0$ 且 $k$ 为正整数。）

下面通过详细的分析以及一个易于理解的比喻就可以让我们搞明白这个问题。

二、正文

假如一个 $n$ 阶矩阵的秩为 $k$, 我们能得出如下几个结论：

1. 该矩阵中【存在】值不为零的 $k$ 阶子式；
2. 该矩阵中任意大于 $k$ 阶的子式的值【全部】为零。

但是，存在值不为零的 $k$ 阶子式并不意味着所有 $k-1$ 阶子式全都不为零——可能存在值为零的 $k-1$ 阶子式。不过，此时 $k-1$ 阶子式的值不可能全为零，因为若 $k-1$ 阶子式全为零，就意味着该矩阵的秩一定小于 $k-1$, 就不可能是 $k$ 了——

这是由于任意 $k$ 阶子式都可以展开降阶，用 $k-1$ 阶子式表示，如果 $k-1$ 阶子式全为零，那么，$k$ 阶子式也必然全为零。

其实用生活中常见的比喻就可以很轻松的理解上面的阐述：如果我们把一栋楼的最高楼层数 $M$ 比作矩阵的秩，那么，第 $M$ 层的上面一定是空的（即“全为零”），但第 $M$ 层本身以及第 $M$ 层的下面不能全为空（即“不能全为零”），否则的话，第 $M$ 层本身就不存在了。

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