导数的几何类问题：求解曲线上与指定直线垂直的切线的方程

一、题目

曲线 $y = \ln x$ 上与直线 $x + y = 2$ 垂直的切线方程是多少？

难度评级：

解 题 思 路 简 图

graph TB
	a(曲线)
	b(直线)
	a --求导--> c(导数)
	b --斜率--> d(切线的斜率)
	c --> e(确定曲线和切线的交点坐标)
	d --> e
	e --> f(点斜式)
	d --> f
	f --> g(求解出切线方程)

二、解析

首先：

$$
x + y = 2 \Rightarrow
$$

$$
y = -x + 2
$$

Next

于是，若设与直线 $y = -x + 2$ 垂直的切线的斜率为 $k$ 则：

$$
k \times (-1) = -1 \Rightarrow
$$

$$
k = 1.
$$

又：

$$
(\ln x)^{\prime} = \frac{1}{x}
$$

Next

又由于导数反映了函数在各点处切线斜率的变化情况，因此，令：

$$
\frac{1}{x} = 1
$$

则：

$$
\begin{cases}
& x = 1 \\
& y = 0
\end{cases}
$$

接着，由点斜式可以求出该切线的方程：

$$
y – 0 = 1 \times (x – 1) \Rightarrow
$$

$$
y = x – 1.
$$

---