用“拟合法”对二次函数进行分解降幂

一、前言

本文使用了一种基于近似的“拟合法”完成对二次函数的分解降幂，相比于“十字相乘法”，拟合法在处理一些系数较小的，以及一些无法写成因式相乘形式的二次函数时更合适。

二、正文

例题一

对下面这个式子进行分解降幂：

$$x^2–x–2$$

Next

由于：

$$(x+1{)}^2=x^2+1+2x$$

“拟合法”降幂的关键就是上面这一步，也就是找到一个和原式近似的式子 $(a+b{)}^2$.

Next

于是：

$$x^2–x–2=$$

$$(x+1{)}^2–3–3x=$$

$$(x+1{)}^2–3(x+1)=$$

$$(x+1)(x+1–3)=(x+1)(x–2).$$

例题二

对下面这个式子进行分解降幂：

$$x^2–x+1$$

Next

由于：

$$(x–\frac{1}{2}{)}^2=x^2+\frac{1}{4}–x$$

Next

于是：

$$x^2–x+1=(x–\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}$$

此外，需要着重注意的是，应用拟合法的 关 键 是要 首 先 寻 求 拟 合 带 有 变 量 的 项 ，例如：

$$(x+1{)}^2=x^2+1+2x\Rightarrow$$

$$x^2+1–x=(x+1{)}^2-3x.$$

可以看到，虽然 $(x+1{)}^2$ 拟合了原式 $x^2$ $+$ $1$ $-$ $x$ 中的 “$x^2$” 和 “$1$” 这两项，但却在之后引入了 “$-3x$”, 这样并没有有效降低原式的复杂程度。

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