用“拟合法”对二次函数进行分解降幂

一、前言

本文使用了一种基于近似的“拟合法”完成对二次函数的分解降幂，相比于“十字相乘法”，拟合法在处理一些系数较小的，以及一些无法写成因式相乘形式的二次函数时更合适。

二、正文

例题一

对下面这个式子进行分解降幂：

$$
x^{2} – x – 2
$$

Next

由于：

$$
(x + 1)^{2} = x^{2} + 1 + 2x
$$

“拟合法”降幂的关键就是上面这一步，也就是找到一个和原式近似的式子 $(a + b)^{2}$.

Next

于是：

$$
x^{2} – x – 2 =
$$

$$
(x + 1)^{2} – 3 – 3x =
$$

$$
(x + 1)^{2} – 3(x + 1) =
$$

$$
(x + 1) (x + 1 – 3) = (x + 1)(x – 2).
$$

例题二

对下面这个式子进行分解降幂：

$$
x^{2} – x + 1
$$

Next

由于：

$$
(x – \frac{1}{2})^{2} = x^{2} + \frac{1}{4} – x
$$

Next

于是：

$$
x^{2} – x + 1 = (x – \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}
$$

此外，需要着重注意的是，应用拟合法的 关 键 是要 首 先 寻 求 拟 合 带 有 变 量 的 项 ，例如：

$$
(x + 1)^{2} = \textcolor{orange}{x^{2}} + \textcolor{orange}{1} + 2x \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{x^{2}} + \textcolor{orange}{1} – x = (x + 1)^{2} \textcolor{red}{- 3x}.
$$

可以看到，虽然 $(x + 1)^{2}$ 拟合了原式 $x^{2}$ $+$ $1$ $-$ $x$ 中的 “$x^{2}$” 和 “$1$” 这两项，但却在之后引入了 “$-3x$”, 这样并没有有效降低原式的复杂程度。

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