线性代数考研真题归档

2023年考研数二第22题解析：根据矩阵乘法凑出隐含的矩阵、矩阵的特征值和特征向量

一、题目

设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足：对任意 $x _{ 1 }$, $x _{ 2 }$, $x _{ 3 }$ 均有 $\boldsymbol{A} \left( \begin{array} { c } x _{ 1 } \\ x _{ 2 } \\ x _{ 3 } \end{array} \right)$ $=$ $\left( \begin{array} { c } x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } \\ 2 x _{ 1 } – x _{ 2 } + x _{ 3 } \\ x _{ 2 } – x _{ 3 } \end{array} \right)$

(1) 求 $\boldsymbol{A}$;

(2) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P ^ { – 1 } A P}$ $=$ $\boldsymbol{\Lambda}$.

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2024年考研数二第22题解析：线性方程组、正交变换

一、题目

设矩阵 $A$ $=$ $\begin{pmatrix}0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $B$ $=$ $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2\end{pmatrix}$, 二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $x^{T} B A x$. 已知方程组 $A x$ $=$ $0$ 的解均是 $B^{\top} x$ $=$ $0$ 的解，但这两个方程组不同解.

(1) 求 $a$, $b$ 的值;

(2) 求正交变换 $x$ $=$ $Q y$ 将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形.

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2024年考研数二第16题解析：矩阵的化简

一、题目

设向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $=$ $\left(\begin{array}{c}a \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ $=$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ b \\ a\end{array}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ $=$ $\left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则 $a b = ?$

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2024年考研数二第10题解析：相似对角化、矩阵的特征值与特征向量

一、题目

设 $A$, $B$ 为 $2$ 阶矩阵, 且 $A B=B A$, 则 “$A$ 有两个不相等的特征值” 是 “$B$ 可对角化” 的 ( )

(A) 充分必要条件

(B) 充分不必要条件

(D) 不充分不必要条件

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2023年考研数一第07题解析：一个向量能被其余向量表示就意味着这些向量可以组成一个线性方程组

一、题目

已知向量 $\alpha_{1} = \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$, $\alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$, $\beta_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right)$, $\beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$. 若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ 表示, 也可由
$\beta_{1}$, $\beta_{2}$ 表示, 则 $\gamma$ 为 ($\quad$)

(A) $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in R$

(B) $k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in R$

(D) $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in R$

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2023年考研数二第16题解析：非齐次线性方程组、矩阵的子式、行列式的按行按列展开

一、题目

已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a x_{1}+x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ a x_{1}+b x_{2}=2\end{array}\right.$ 有解, 其中 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为常数。

若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$. 则, $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=?$

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2023年考研数二第10题解析：线性相关、齐次线性方程组

一、题目

已知向量 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性表示,也可由 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 线性表示, 则 $\gamma = (\quad)$

(A) $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in R$

(B) $k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in R$

(D) $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in R$

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