一、前言
在本文，「荒原之梦考研数学」整理了一些常用的不等式，可以减少做题时候的计算量，以作参考。
二、正文
(01)
$$
\sqrt{ab} \leqslant \frac{1}{2}(a+b).
$$
$$
a+b \geqslant 2 \sqrt{ab}.
$$
$$
a^{2} + b^{2} \geqslant 2ab.
$$
$$
a^{2} + b^{2} \leqslant (a + b)^{2}.
$$
(02)
当 $a > b > 0$ 且 $n > 0$ 时，有：
$$
a^{n} > b^{n}.
$$
(03)
当 $a > b > 0$ 且 $n$ 为整数时，有：
$$
\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}.
$$
(04)
$$
|a + b| \leqslant |a| + |b|.
$$
$$
|a-b| \leqslant |a| + |b|.
$$
$$
|a-b| \geqslant ||a| – |b||
$$
$$
-|a| \leqslant a \leqslant |a|.
$$
(05)
当 $x > 0$ 时，有：
$$
\frac{x-1}{x} \leqslant \ln x \leqslant x-1
$$
上式的等号在 $x = 1$ 处取得.
将 $x = 1+t$, $t > -1$ 代入 $\frac{x-1}{x} \leqslant \ln x \leqslant x-1$, 得：
$$
\frac{t}{1+t} \leqslant \ln \left( 1+t \right) \leqslant t
$$
当 $t \geqslant 0$ 时，有：
$$
t – \frac{t^{2}}{2} \leqslant \ln \left( 1+t \right) \leqslant t
$$
(06)
当 $x \in \left( 0, \frac{\pi}{3} \right)$ 的时候：
$$
\sin 2x > \sin x
$$
当 $x \in \left( \frac{-\pi}{3}, 0 \right)$ 的时候：
$$
\sin 2x < \sin x
$$
EOF