[高数]关于三角函数和反三角函数的互相转化

前言

三角函数和反三角函数之间有时需要相互转化,本文将给出一个我对这个转化过程的理解,以作参考。

正文

要明白三角函数和反三角函数之间如何相互转化,我们首先要清楚三角函数和反三角函数之间的关系。简单地说,三角函数和反三角函数之间的关系就是函数和反函数之间的关系,只不过,由于三角函数在其定义域内不是单调的,而只有单调函数才有反函数,因此,关于三角函数和反三角函数比较严谨的表述是:

在单调区间内,三角函数的反函数为反三角函数,例如:

$$
y = \arcsin x \Leftrightarrow x = \sin y.
$$

$$
y = \arccos x \Leftrightarrow x = \cos y.
$$

$$
y = \arctan x \Leftrightarrow x = \tan y.
$$

也就是:

$$
y = \arcsin x \Leftrightarrow \sin y = \sin[\arcsin x] \Leftrightarrow \sin y = x.
$$

$$
y = \arccos x \Leftrightarrow \cos y = \cos[\arccos x] \Leftrightarrow \cos y = x.
$$

$$
y = \arctan x \Leftrightarrow \tan y = \tan[\arctan x] \Leftrightarrow \tan y = x.
$$

由上可以发现,只要我们在计算的过程中【认为】:

$$
(\sin) \times (\arcsin) = 1, (\arcsin) \times (\sin) = 1;
$$

$$
(\cos) \times (\arccos) = 1, (\arccos) \times (\cos) = 1;
$$

$$
(\tan) \times (\arctan) = 1, (\arctan) \times (\tan) = 1;
$$

$$
\cdots \cdots
$$

就可以很方便地消去反三角函数的符号或者三角函数的符号。例如:

$$
\arctan (\frac{y}{x}) = \ln x \Rightarrow
$$

$$
\tan[\arctan (\frac{y}{x})] = \tan[\ln x] \Rightarrow
$$

$$
\frac{y}{x} = \tan(\ln x) \Rightarrow
$$

$$
y = x \tan (\ln x).
$$