[高数]摆线及其性质

前言

本文将对摆线做一个介绍并列举一些摆线的基本性质。

正文

什么是摆线

在数学上,摆线指的是一个圆沿着一条直线滚动时,圆边界上一个固定的点所形成的轨迹,如图 1 所示的这条红线即为摆线:

图 1. 摆线示意图
由Zorgit - 自己的作品,CC BY-SA 3.0,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4552689
图 1. 摆线示意图
由Zorgit – 自己的作品,CC BY-SA 3.0,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4552689

摆线的基本性质

一个半径为 $r$ 的圆所形成的过平面直角坐标原点的摆线的参数方程为:

$$
x = r(t – \sin t); ①
$$

$$
y = r(1 – \cos t). ②
$$

Tips:
上述式子中,$①$ 式和 $②$ 式可以各自独立地描述同一条摆线,也就是说,$①$ 式和 $②$ 式是从不同的角度描述了同一条摆线,并不需要将 $①$ 式和 $②$ 式联立才可以描述一条摆线。

上面的参数 $t$ 是该圆滚动过的角度,当圆滚动一周 ($t = 0 \rightarrow 2 \pi$) 就会形成一个完整的“拱”。这个完整的“拱”有如下性质:

一、拱的跨度为 $2 \pi r$ (一个圆转了 360 度之后刚好转完一周,因此,这个圆“行走的轨迹”的长度,同时也是拱的跨度,刚好是圆的周长).

二、拱的长度为 $8r$ (圆直径的 $4$ 倍).

三、拱和坐标轴所围成图形的面积为 $3 \pi r^{2}$ (圆面积的 $3$ 倍).

四、拱的高度为 $2r$ (一个拱的最高点的高度就是元的直径).

例如图 2 所示,这是一个由半径为 $2$ 的圆所生成的摆线,从图中可以看到该摆线的两个完整的拱:

图 2. 摆线示意图
由Doctormatt - 自己的作品,公有领域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2193340
图 2. 摆线示意图
由Doctormatt – 自己的作品,公有领域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2193340

References:
[1]. 摆线 – 维基百科,自由的百科全书
https://zh.wikipedia.org/wiki/摆线

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