[高数]使用变量的对称性快速写出有关结论

前言

在解题过程中,注意使用【变量的对称性】所隐含的性质可以提高解题速度。本文将对此进行一个说明,以作参考。

正文

关于【变量的对称性】,简而言之就是,如果在一个式子中,将原式中的 $x$ 换成 $y$, 将原式中的 $y$ 换成 $x$ 之后得到的新式子和原来的式子是等价的,则这其中的 $x$ 和 $y$ 就是具有对称性的两个变量。在这样的式子中,如果单独对原式中的 $x$ 做了一系列运算得到了结果 $A$, 那么,只需要把 $A$ 中的 $x$ 或 $y$ 全部替换成与其对称的变量 $y$ 或 $x$ 就可以得到对原式中的 $y$ 做同种类型的一系列运算所得到的结果 $B$.

例一:

设:

$$
z = xy
$$

则:

$$
z_{x}^{‘} = y. ①
$$

直接把 $①$ 式中的 $y$ 换成 $x$ 就得到了 $z_{y}^{‘}$ 的运算结果:

$$
z_{y}^{‘} = x.
$$

例二:

设:

$$
z = x^{2} + y^{2} + t
$$

则:

$$
z_{x}^{‘} = 2x.
$$

由变量的对称性直接可得:

$$
z_{y}^{‘} = 2y.
$$

注意

一、变量的对称性只可能存在于两个变量之间,但这并不妨碍我们在存在两个以上变量的式子中应用该性质。

二、使用变量的对称性之前一定要认真检查这种对称性知否真的存在,不能看到有两个变量就使用变量的对称性。