[高数]关于无穷大和正无穷大以及负无穷大的关系的分析

前言

无穷大 $(\infty)$ 与正无穷大 $(+ \infty)$ 和负无穷大 $(- \infty)$ 之间的关系可能会让人感到困惑进而影响高数题目的求解。本文将对此做一个分析说明,以作参考。

正文

要认识无穷大,首先要看看无穷大是怎么定义的:

无穷大,是在自变量的某个变化过程中函数值的【绝对值】无限增大的函数。这里的“函数”可以是一个单一的变量,也可以是一个由变量通过某些组合方式形成的式子。

也就是说,无穷大其实是通过绝对值定义的,而绝对值的作用虽然是将所有值,无论正值还是负值都变成正值,但这只是绝对值表面的一种应用。绝对值深层次的含义是抹除所有值的正负特性——当我们只知道一个值的绝对值时,我们没有办法知道这个值在进行绝对值运算之前是正值还是负值——绝对值就如同一个“黑盒”。

于是,我们可以知道,所谓无穷大并不是在同一时刻既包含正无穷大又包含负无穷大——在特定的前提条件下,一个无穷大必然只能是正无穷大或者负无穷大这两者的其中之一。

当然,如果一个变量无论是趋于正无穷大还是趋于负无穷大,结果都是一样的(例如极限是一样的,但不存在极限时也可能会有一样的结果,例如无论变量是趋于正无穷还是趋于负无穷,其结果都趋于正无穷),那么,此时,我们可以只说该变量是趋于无穷大的,而不必指明是趋于正无穷大还是负无穷大。

Tips:
正无穷大可以理解为“大于任何给定的值”,负无穷大可以理解为“小于任何给定的值”。但是【无穷小】并不是【小于任何给定的值】。因为,即便“小于任何给定的值”仍然是一个存在的值,而无穷小要表示的其实是“不存在”,无穷小的定义是“绝对值比任何正数都要小的量”。