[高数]形象化理解二重积分中值定理

前言

本文将通过一种形象化的方法阐述对二重积分中值定理的理解,以帮助记忆和运用该定理。

正文

二重积分中值定理的数学表述如下:

设 $D$ 为平面有限闭区域,$f(x,y)$ 在 $D$ 上连续,$A$ 表示区域 $D$ 的面积,则存在 $(\xi, \eta) \in D$, 使得:

$$
\iint_{D} f(x,y)dxdy = f(\xi, \eta) A.
$$

本文接下来会结合二重积分的几何意义对二重积分中值定理进行形象化的分析,关于二重积分的几何意义可以参考下面这篇文章:

[高数]二重积分的几何意义解释

[高数]形象化理解二重积分中值定理
图 1.

如图 1 所示,由于 $f(x,y)$ 表示的是一个曲面,因此,$\iint_{D} f(x,y)dxdy$ 的几何意义就是底面为积分区域 $D$ 的曲顶柱体的有向体积。

如果我们把这个曲顶柱体看作是由装在一个底面积为 $D$ 的垂直容器内的沙子所形成的(如图 1 中左侧所示),那么,如果我们晃动这个容器,直至这些沙子均匀地分布在整个容器内,那么,我们就得到了图中右侧这样一个平顶立方体。该平顶立方体的顶面 $B$ 和底面 $D$ 的面积都是 $S_{B}$. 由于摇晃容器的过程中并没有损失沙子,因此,我们可以认为,图中左右两侧的两个柱体的体积是一样。

由于在晃动的过程中,曲顶柱体的低处会上升,高处会下降,因此,如图 1 中所示,如果把两个柱体以底面完全重合的方式放在一起,那么,$A$ 平面和 $B$ 平面一定会产生一个交线,在这个交线上我们一定能够找到一个点 $(\xi, \eta)$, 使得该点距离底面 $D$ 的高度 $z = f(\xi, \eta)$ 乘上底面的面积 $S_{B}$ 和原来曲顶柱体的体积相等,即:

$$
\iint_{D} f(x,y) dxdy = f(\xi, \eta) S_{B}.
$$