题目
设区域 $D$ 由曲线 $y=\sin x$, $x= \pm \frac{\pi}{2}$, $y=1$ 围成，则 $\iint_{D} (xy^{5} – 1) dxdy=?$
$$
A. \pi
$$
$$
B. 2
$$
$$
C. -2
$$
$$
D. -\pi
$$
解析
方法一
对于二重积分，首先画出区域 $D$, 如图 1 所示：
接着开始计算：
$$
\iint_{D} (xy^{5} – 1) dxdy =
$$
$$
\iint_{D} (xy^{5}) dxdy – \iint_{D} 1 dxdy \Rightarrow
$$
对积分区域 $D$ 做如图 2 所示的切分移位之后，可以算出：
$$
\iint 1 dxdy = 1 \times (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \pi.
$$
P.S: $\iint 1 dxdy$ 中的 $1$ 表示的是 $z=1$, 并且，在三维直角坐标系中，$z=1$ 位于 $z$ 轴的正半轴，因此，$\iint 1 dxdy$ 所表示的曲顶柱体的有向体积一定是个正数。
于是有：
$$
\iint_{D} (xy^{5}) dxdy – \pi =
$$
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x dx \int_{\sin x}^{1} y^{5} dy – \pi =
$$
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1}{6} x – \frac{1}{6} x (\sin x)^{6}] dx – \pi =
$$
$$
\frac{1}{6} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} xdx – \frac{1}{6} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x (\sin x)^{6} dx – \pi \Rightarrow
$$
由于 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 关于原点对称，且 $y=x$ 与 $y=x(\sin x)^{6}$ 均是关于 $x$ 的奇函数，因此：
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} xdx = 0;
$$
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x (\sin x)^{6} dx = 0.
$$
于是：
$$
原式 = 0 – 0 – \pi = – \pi.
$$
方法二
计算二重积分一般可以考虑利用积分区间的对称性，虽然本题中给出的积分区域不是对称的，但是，经过切分之后可以变成对称的，如图 3 所示：
于是：
$$
\iint_{D} (xy^{5} – 1) dxdy =
$$
$$
\iint_{D_{1}} (xy^{5} – 1) dxdy + \iint_{D_{2}} (xy^{5} – 1) dxdy =
$$
$$
\iint_{D_{1}} (xy^{5}) dxdy – \iint_{D_{1}} 1 dxdy +
$$
$$
\iint_{D_{2}} (xy^{5}) dxdy – \iint_{D_{2}} 1 dxdy =
$$
由于 $xy^{5}$ 既是关于 $x$ 的奇函数也是关于 $y$ 的奇函数，而且积分区域 $D_{1}$ 关于 $y$ 轴对称，积分区域 $D_{2}$ 关于 $x$ 轴对称，所以：
$$
\iint_{D_{1}} (xy^{5}) dxdy = 0;
$$
$$
\iint_{D_{2}} (xy^{5}) dxdy = 0.
$$
于是有：
$$
0 – \iint_{D_{1}} 1 dxdy + 0 – \iint_{D_{2}} 1 dxdy =
$$
$$
-\iint_{D} 1 dxdy =
$$
$$
-\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} 1 dx \int_{\sin x}^{1} 1 dy =
$$
$$
-\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} (1 – \sin x) dx =
$$
$$
-(x + \cos x) |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =
$$
$$
-(\frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{2} – 0) =
$$
$$
-\pi.
$$
注意：在方法二中也可以使用方法一中对积分区域 $D$ 切分移位的方法算出 $\iint_{D} 1 dxdy$ 的数值，进而得出 $-\iint_{D} 1 dxdy$ 的数值。
综上可知，正确选项为 $D$.
EOF