2012年考研数二第06题解析

题目

设区域 $D$ 由曲线 $y=\sin x$, $x= \pm \frac{\pi}{2}$, $y=1$ 围成,则 $\iint_{D} (xy^{5} – 1) dxdy=?$

$$
A. \pi
$$

$$
B. 2
$$

$$
C. -2
$$

$$
D. -\pi
$$

解析

方法一

对于二重积分,首先画出区域 $D$, 如图 1 所示:

图 1. 积分区域 $D$ 的示意图.
图 1. 积分区域 $D$ 的示意图.

接着开始计算:

$$
\iint_{D} (xy^{5} – 1) dxdy =
$$

$$
\iint_{D} (xy^{5}) dxdy – \iint_{D} 1 dxdy \Rightarrow
$$

对积分区域 $D$ 做如图 2 所示的切分移位之后,可以算出:

$$
\iint 1 dxdy = 1 \times (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \pi.
$$

P.S: $\iint 1 dxdy$ 中的 $1$ 表示的是 $z=1$, 并且,在三维直角坐标系中,$z=1$ 位于 $z$ 轴的正半轴,因此,$\iint 1 dxdy$ 所表示的曲顶柱体的有向体积一定是个正数。

图 2. 切分移位之后的积分区域.
图 2. 切分移位之后的积分区域.

于是有:

$$
\iint_{D} (xy^{5}) dxdy – \pi =
$$

$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x dx \int_{\sin x}^{1} y^{5} dy – \pi =
$$

$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1}{6} x – \frac{1}{6} x (\sin x)^{6}] dx – \pi =
$$

$$
\frac{1}{6} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} xdx – \frac{1}{6} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x (\sin x)^{6} dx – \pi \Rightarrow
$$

由于 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 关于原点对称,且 $y=x$ 与 $y=x(\sin x)^{6}$ 均是关于 $x$ 的奇函数,因此:

$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} xdx = 0;
$$

$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x (\sin x)^{6} dx = 0.
$$

于是:

$$
原式 = 0 – 0 – \pi = – \pi.
$$

方法二

计算二重积分一般可以考虑利用积分区间的对称性,虽然本题中给出的积分区域不是对称的,但是,经过切分之后可以变成对称的,如图 3 所示:

图 3. 将积分区域 $D$ 划分成两个对称的积分区域.
图 3. 将积分区域 $D$ 划分成两个对称的积分区域.

于是:

$$
\iint_{D} (xy^{5} – 1) dxdy =
$$

$$
\iint_{D_{1}} (xy^{5} – 1) dxdy + \iint_{D_{2}} (xy^{5} – 1) dxdy =
$$

$$
\iint_{D_{1}} (xy^{5}) dxdy – \iint_{D_{1}} 1 dxdy +
$$

$$
\iint_{D_{2}} (xy^{5}) dxdy – \iint_{D_{2}} 1 dxdy =
$$

由于 $xy^{5}$ 既是关于 $x$ 的奇函数也是关于 $y$ 的奇函数,而且积分区域 $D_{1}$ 关于 $y$ 轴对称,积分区域 $D_{2}$ 关于 $x$ 轴对称,所以:

$$
\iint_{D_{1}} (xy^{5}) dxdy = 0;
$$

$$
\iint_{D_{2}} (xy^{5}) dxdy = 0.
$$

于是有:

$$
0 – \iint_{D_{1}} 1 dxdy + 0 – \iint_{D_{2}} 1 dxdy =
$$

$$
-\iint_{D} 1 dxdy =
$$

$$
-\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} 1 dx \int_{\sin x}^{1} 1 dy =
$$

$$
-\int_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} (1 – \sin x) dx =
$$

$$
-(x + \cos x) |_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =
$$

$$
-(\frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{2} – 0) =
$$

$$
-\pi.
$$

注意:在方法二中也可以使用方法一中对积分区域 $D$ 切分移位的方法算出 $\iint_{D} 1 dxdy$ 的数值,进而得出 $-\iint_{D} 1 dxdy$ 的数值。

综上可知,正确选项为 $D$.

EOF


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