题目
编号：A2016208
设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $a(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})$ $+$ $2x_{1}x_{2}$ $+$ $2x_{1}x_{3}$ $+$ $2x_{2}x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 $1$, $2$, 则 $?$
$$A. a > 1$$
$$B. a < -2$$
$$C. -2 < a < 1$$
$$D. a=1 或 a = -2$$
解析
二次型 $f$ 的矩阵 $A=$
$$\begin{vmatrix} a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{vmatrix}$$
于是，由 $|\lambda E – A| = 0$ 得：
$$\begin{vmatrix} \lambda – a& -1& -1\\ -1& \lambda – a& -1\\ -1& -1& \lambda – a\end{vmatrix} \Rightarrow$$
注意：化简这种行相加或者列相加值相等的行列式的方法一般都是将其余行或者列的元素都加到第一列或者第一行。
$$\begin{vmatrix} \lambda – a-2& \lambda – a-2& \lambda – a-2\\ -1& \lambda – a& -1\\ -1& -1& \lambda – a\end{vmatrix} \Rightarrow$$
$$(\lambda – a – 2)\begin{vmatrix} 1& 1& 1\\ -1& \lambda – a& -1\\ -1& -1& \lambda – a\end{vmatrix} \Rightarrow$$
$$(\lambda – a – 2)\begin{vmatrix} 1& 1& 1\\ 0& \lambda – a + 1& 0\\ 0& 0& \lambda – a + 1\end{vmatrix} \Rightarrow$$
$$(\lambda – a – 2)(\lambda – a + 1)^{2}.$$
于是有：
$$(\lambda – a – 2)(\lambda – a + 1)^{2} = 0.$$
即：
$$\lambda – a – 2 = 0;$$
$$\lambda – a + 1 = 0.$$
于是得：
$$\lambda_{1} = a + 2;$$
$$\lambda_{2} = \lambda_{3} = a – 1.$$
由于无论 $a$ 的值是多少，都有：
$$a + 2 > a – 1.$$
而且，二次型 $f$ 的正惯性指数为 $1$, 负惯性指数为 $2$, 于是可知：
$$a + 2 > 0;$$
$$a – 1 < 0.$$
因此：
$$1 > a > -2.$$
综上可知，正确选项为 $C$.
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