题目
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{matrix}2(x-1),x < 1,\\ \ln x, x \geqslant 1,\end{matrix}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是 $?$
$$
A. F(x)=\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2},x < 1,\\ x(\ln x – 1), x \geqslant 1,\end{matrix}\right.$$
$$B. F(x)=\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2},x < 1,\\ x(\ln x + 1) – 1, x \geqslant 1,\end{matrix}\right.$$
$$C. F(x)=\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2},x < 1,\\ x(\ln x + 1) + 1, x \geqslant 1,\end{matrix}\right.$$
$$D. F(x)=\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2},x < 1,\\ x(\ln x – 1) + 1, x \geqslant 1,\end{matrix}\right.$$
解析
本题就是求导。
由于：
$$
[(x-1)^{2}]^{‘} = 2(x-1).
$$
$$
[x(\ln x – 1)]^{‘} =
$$
$$
(x \ln x -x)^{‘} =
$$
$$
\ln x + 1 -1 = \ln x.
$$
$$
[x(\ln x + 1)]^{‘} =
$$
$$
[x \ln x + x]^{‘} =
$$
$$
\ln x + 1 +1 =
$$
$$
\ln x + 2.
$$
所以，$B$, $C$ 一定错，$A$, $D$ 中有一个是正确的。
又因为【导函数的原函数】一定可导，而可导必连续。
又当 $x \rightarrow 1$ 时：
$$
(x-1)^{2} = 0.
$$
$$
x(\ln x – 1) + 1 = 0
$$
综上可知，正确答案为 $D$.
EOF