2017年考研数二第07题解析

题目

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵,$P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 为可逆矩阵,使得 $P^{-1}AP=\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$, 则 $A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) = ?$

$$A. \alpha_{1} + \alpha_{2}$$

$$B. \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$$

$$C. \alpha_{2} + \alpha_{3}$$

$$D. \alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$$

解析

当拿到一个题目却不知道如何下手的时候,可以先对已知条件做做变形,看一看能否和其他已知条件以及要解答的问题建立联系。下面两种解法都是在这样的试探中解出来的。

方法一:

已知:

$$
A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) =
$$

$$
A \alpha_{1} + A \alpha_{2} + A \alpha_{3}.
$$

(将 $A$ 和 $\alpha$ 都看作 $1$ 阶矩阵就会发现上述运算过程是正确的。)

又:

$$
AP = P
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
=
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
=
$$

$$
(0, \alpha_{2}, 2 \alpha_{3}).
$$

又:

$$
AP = (A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}).
$$

于是:

$$
(A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}) = (0, \alpha_{2}, 2 \alpha_{3}).
$$

即:

$$
A \alpha_{1} = 0;
$$

$$
A \alpha_{2} = \alpha_{2};
$$

$$
A \alpha_{3} = 2 \alpha_{3}
$$

则:

$$
A \alpha_{1} + A \alpha_{2} + A \alpha_{3} =
$$

$$
0 + \alpha_{2} + 2 \alpha_{3} =
$$

$$
\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}.
$$

方法二:

由于:

$$
(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3})=
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$

$$
P
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}.
$$

于是:

$$
A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) =
$$

$$
AP
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}.
$$

又因为:

$$
AP = P
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
$$

所以:

$$
A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) =
$$

$$
P
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$

$$
(0, \alpha_{2}, 2 \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$

$$
\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}.
$$

方法三:

观察可知,$P^{-1}AP=
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$中的$\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$ 是一个对角矩阵,而在将矩阵对角化的过程中,我们知道,$P^{-1}AP=\Lambda$ 中的 $P$ 是由 $A$ 的特征向量组成的可逆矩阵,$\Lambda$ 是由 $A$ 的特征值组成的对角矩阵。而且,$P$ 中特征向量的顺序和 $\Lambda$ 中特征值的顺序是一一对应的。

由上述分析,我们可以知道:

$$
A \alpha_{1} = \lambda_{1} \alpha_{1};
$$

$$
A \alpha_{2} = \lambda_{2} \alpha_{2};
$$

$$
A \alpha_{3} = \lambda_{3} \alpha_{3}.
$$

又:

$$
\lambda_{1} =0;
$$

$$
\lambda_{2} =1;
$$

$$
\lambda_{3} =2;
$$

于是:

$$
A \alpha_{1} + A \alpha_{2} + A \alpha_{3} =
$$

$$
\lambda_{1} \alpha_{1} + \lambda_{2} \alpha_{2} + \lambda_{3} \alpha_{3} =
$$

$$
0 + \alpha_{2} + 2 \alpha_{3} =
$$

$$
\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}.
$$

方法三是我完全独立想出来的解题方法,使用该方法解本题速度最快。

综上可知,正确选项为 $B$.

EOF


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