2017年考研数二第07题解析：可逆矩阵、相似对角化

一、题目

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，$P$ $=$ $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1}AP$ $=$ $\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$, 则 $A(\alpha_{1}$ $+$ $\alpha_{2}$ $+$ $\alpha_{3})$ $=$ $?$

⟨A⟩. $\alpha_{1} + \alpha_{2}$

⟨C⟩. $\alpha_{2} + \alpha_{3}$

⟨B⟩. $\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$

⟨D⟩. $\alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$

二、解析

当拿到一个题目却不知道如何下手的时候，可以先对已知条件做做变形，看一看能否和其他已知条件以及要解答的问题建立联系。下面两种解法都是在这样的试探中解出来的。

方法一

已知：

$$
A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) =
$$

$$
A \alpha_{1} + A \alpha_{2} + A \alpha_{3}.
$$

（将 $A$ 和 $\alpha$ 都看作 $1$ 阶矩阵就会发现上述运算过程是正确的。）

又：

$$
AP = P
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
=
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
=
$$

$$
(0, \alpha_{2}, 2 \alpha_{3}).
$$

又：

$$
AP = (A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}).
$$

于是：

$$
(A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}) = (0, \alpha_{2}, 2 \alpha_{3}).
$$

即：

$$
A \alpha_{1} = 0;
$$

$$
A \alpha_{2} = \alpha_{2};
$$

$$
A \alpha_{3} = 2 \alpha_{3}
$$

则：

$$
A \alpha_{1} + A \alpha_{2} + A \alpha_{3} =
$$

$$
0 + \alpha_{2} + 2 \alpha_{3} =
$$

$$
\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}.
$$

方法二

由于：

$$
(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3})=
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$

$$
P
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}.
$$

于是：

$$
A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) =
$$

$$
AP
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}.
$$

又因为：

$$
AP = P
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
$$

所以：

$$
A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) =
$$

$$
P
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$

$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$

$$
(0, \alpha_{2}, 2 \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$

$$
\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}.
$$

方法三

观察可知，$P^{-1}AP=
\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$中的$\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$ 是一个对角矩阵，而在将矩阵对角化的过程中，我们知道，$P^{-1}AP=\Lambda$ 中的 $P$ 是由 $A$ 的特征向量组成的可逆矩阵，$\Lambda$ 是由 $A$ 的特征值组成的对角矩阵。而且，$P$ 中特征向量的顺序和 $\Lambda$ 中特征值的顺序是一一对应的。

由上述分析，我们可以知道：

$$
A \alpha_{1} = \lambda_{1} \alpha_{1};
$$

$$
A \alpha_{2} = \lambda_{2} \alpha_{2};
$$

$$
A \alpha_{3} = \lambda_{3} \alpha_{3}.
$$

又：

$$
\lambda_{1} =0;
$$

$$
\lambda_{2} =1;
$$

$$
\lambda_{3} =2;
$$

于是：

$$
A \alpha_{1} + A \alpha_{2} + A \alpha_{3} =
$$

$$
\lambda_{1} \alpha_{1} + \lambda_{2} \alpha_{2} + \lambda_{3} \alpha_{3} =
$$

$$
0 + \alpha_{2} + 2 \alpha_{3} =
$$