2017年考研数二第05题解析

题目

设 $f(x,y)$ 具有一阶偏导数，且对于任意的 $(x,y)$ 都有 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}>0$, $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}<0$, 则 $?$

$$A.f(0,0)>f(1,1)$$

$$B.f(0,0)<f(1,1)$$

$$C.f(0,1)>f(1,0)$$

$$D.f(0,1)<f(1,0)$$

解析

由 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}>0$ 知 $f(x,y)$ 对于 $x$ 为单调增函数，即：

$$f(0,y)<f(1,y).\mathrm{①}$$

又由 $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}<0$ 知 $f(x,y)$ 对于 $y$ 为单调减函数，即：

$$f(x,0)>f(x,1);f(x,1)<f(x,0).\mathrm{②}$$

综合 $\mathrm{①}\mathrm{②}$ 两式可得：

$$f(0,1)<f(1,0).$$

综上可知，正确选项为 $D$.

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