2017年考研数二第04题解析

题目

微分方程 $y^{”} – 4 y^{‘} + 8y = e^{2x}(1+ \cos 2x)$ 的特解可设为 $y* = ?$

$$A. Ae^{2x} + e^{2x}(B \cos 2x + C \sin 2x)$$

$$B. Ax e^{2x} + e^{2x}(B \cos 2x + C \sin 2x)$$

$$C. Ae^{2x} + xe^{2x}(B \cos 2x + C \sin 2x)$$

$$D. Ax e^{2x} + xe^{2x}(B \cos 2x + C \sin 2x)$$

解析

本题主要考察非齐次微分方程特解的设解方法,关于这部分知识,可以参考下面这篇文章:

[高数]用待定系数法求非齐次微分方程特解时的设解方法

$y^{”} – 4 y^{‘} + 8y = e^{2x}(1+ \cos 2x)$ 的特征方程为:

$$
\lambda^{2} – 4 \lambda + 8 = 0.
$$

解得:

$$
\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-32}}{2} \Rightarrow
$$

$$
\lambda = 2 \pm 2 i.
$$

又因为 $y^{”} – 4 y^{‘} + 8y = e^{2x}(1+ \cos 2x)$ 的右端项为:

$$
e^{2x} + e^{2x} \cos 2x.
$$

其中,右端项里的 $e^{2x}$ 对应的特解可设为:

$$
A e^{2x}.
$$

右端项里的 $e^{2x} \cos 2x$ 对应的特解可设为:

$$
x e^{2x}[B \cos 2x + C \sin 2x].
$$

则微分方程 $y^{”} – 4 y^{‘} + 8y = e^{2x}(1+ \cos 2x)$ 的特解可设为:

$$
A e^{2x} + x e^{2x}[B \cos 2x + C \sin 2x].
$$

综上可知,正确选项为 $C$.

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