题目
曲线 $y=x^{2} + 2 \ln x$ 在其拐点处的切线方程是 $?$
解析
由题可知，先求拐点，再求拐点处的切线方程。
已知：
$$
y = x^{2} + 2 \ln x.
$$
所以有：
$$
y^{‘} = 2x + 2 \frac{1}{x};
$$
$$
y^{”} = 2 + 2 \times (- \frac{1}{x^{2}})
$$
令 $y^{”} = 0$, 则有：
$$
2 – \frac{2}{x^{2}} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{2}{x^{2}} = 2 \Rightarrow
$$
$$
x = \pm 1.
$$
又因为 $y = x^{2} + 2 \ln x$ 存在 $\ln x$, 故 $x>0$, 因此，当 $y^{”} = 0$ 时，$x=1$.
把 $x=1$ 代入 $y = x^{2} + 2 \ln x$ 得：
$$
y=1.
$$
所以，拐点处的坐标为：
$$
(1,1)
$$
把 $x=1$ 带入 $y^{‘} = 2x + 2 \frac{1}{x}$ 得：
$$
y^{‘} = 4.
$$
所以，拐点处切线得斜率为：
$$
k=4.
$$
于是，拐点处得切线方程为：
$$
y-1 = 4(x-1) \Rightarrow
$$
$$
4x – y -3 = 0.
$$
综上可知，正确答案为：
$$
4x – y -3 = 0.
$$
EOF