题目
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] = ?
$$
解析
等价无穷小替换可以用在式子整体的乘除运算中，但等价无穷小替换【通常】是不能用在加减式中，无论这个【加减】是式子整体的加减还是局部的加减。因此，下面这个解题过程是错误的：
已知：
$$
\arctan x \sim x.
$$
所以：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[(x+1) – x]=
$$
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} + 1 = +\infty .
$$
方法一：
由于不能直接使用等价无穷小替换（没有合适的公式），因此，尝试使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\arctan (x+1) – \arctan x}{x^{-2}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(\arctan (x+1) – \arctan x)^{‘}}{(x^{-2})^{‘}} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{1+(x+1)^{2}} – \frac{1}{1+x^{2}}}{-2x^{-3}}=
$$
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-1-2x}{(1+x^{2}+1+2x)(1+x^{2})} \times (-\frac{1}{2}) \cdot x^{3}. ①
$$
观察 $①$ 式可知，分母中 $x$ 的最大次方数是 $4$, 分子中 $x$ 的最大次方数也是 $4$. 于是，当 $x \rightarrow + \infty$ 时，有：
$$
① \Rightarrow \lim_{x \Rightarrow + \infty} \frac{x^{4}}{x^{4}} = \lim_{x \Rightarrow + \infty} \frac{1}{1} = 1.
$$
方法二：
本题也可以使用拉格朗日中值定理做。
设 $f(k) = \arctan k$, 则：
$$
\arctan (x+1) – \arctan x = f(x+1) – f(x).
$$
又由于 $f(x+1) – f(x)$ 可导且连续，于是，由拉格朗日中值定理知，必存在 $\xi \in (x, x+1)$, 使得下式成立：
$$
\frac{f(x+1) – f(x)}{(x+1) – x} = f^{‘}(\xi) \Rightarrow
$$
$$
f(x+1) – f(x) = f^{‘}(\xi) \Rightarrow
$$
$$
\arctan (x+1) – \arctan x = f^{‘}(\xi) = \frac{1}{1+ \xi ^{2}}.
$$
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}}{1+\xi ^{2}}.
$$
又因为 $\xi \in (x, x+1)$, 所以：
$$
\frac{x^{2}}{1+(x+1)^{2}} < \frac{x^{2}}{1+\xi ^{2}} < \frac{x^{2}}{1+x^{2}}
$$
又：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}}{1+(x+1)^{2}} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} = 1.
$$
所以：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}}{1+\xi ^{2}} = 1
$$
即：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}[\arctan (x+1) – \arctan x] = 1.
$$
综上可知，正确答案为 $1$.
EOF