[线代]行列式与矩阵的区别

主题

由于行列式与矩阵同属于线性代数,形式上也极为相似,因此本文将列举行列式与矩阵的几点区别,防止在计算过程中发生混淆。

正文

  • 行列式与矩阵的书写形式不同

行列式的书写形式是两条直线,如下:

$$ \begin{vmatrix} a& b\\ c& d \end{vmatrix} $$

矩阵的书写形式是两条曲线:

$$ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} $$

矩阵也可以写成:

$$ \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} $$

在计算的时候,给矩阵 $A$ 加上两条直线,变成 $|A|$, 那么,$|A|$ 就是一个行列式,可以用行列式的性质。也就是说,在某些件下,矩阵可以变成行列式,而行列式一般不会变成矩阵。除此之外,行列式与矩阵通常没有什么关系。

  • 行数与列数的限制不同

行列式一定是“方”的,也就是说,行列式的行数和列数一定相等,而矩阵则没有这样的要求,一个矩阵的行数和列数可以不相同。

  • 行列式与矩阵的最终结果不同

行列式可以计算出一个整数值(单独的一个数),矩阵不能计算出一个整数值。也就是说,矩阵只能以矩阵的形式存在,因为矩阵本身就是一个数表,要把一个数表变成一个数字就不是一个数表了。

  • 行列式与矩阵的加减运算方式不同

行列式之间一般不能直接相加减,也就是说,一般情况下,行列式的加减运算不能像矩阵的加减运算一样把对应位置的元素相加减就可以了。

行列式之间的加减一般是把每个行列式的数值都计算出来,使每个行列式都变成单独的一个整数之后再加减。

特殊情况下,当两个行列式除了某一行或者某一列(这两种情况只能同时存在一种)不同之外,其余元素都相同,那么,这时可以写成如下形式:

$$ \begin{vmatrix} a+b& t\\ c+d& f \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a& t\\ c& f \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b& t\\ d& f \end{vmatrix} $$

上面这种两个行列式直接相加减是有条件的,不具备普遍性,不算是行列式的加减运算。

矩阵的加减运算就是把对应位置的元素相加减即可:

$$ \begin{bmatrix} a& b\\ c& d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e& f\\ g& h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+e& b+f\\ c+g& d+h \end{bmatrix} $$

  • 行列式与矩阵的数乘运算方式不同

行列式的数乘运算:

$$ 2 \begin{vmatrix} 1 & 1& 1\\ 1 & 1& 1\\ 1 & 1& 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 2& 2\\ 1 & 1& 1\\ 1 & 1& 1 \end{vmatrix} $$

或者:

$$ 2 \begin{vmatrix} 1 & 1& 1\\ 1 & 1& 1\\ 1 & 1& 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1& 1\\ 2 & 2& 2\\ 1 & 1& 1 \end{vmatrix} $$

或者:

$$ 2 \begin{vmatrix} 1 & 1& 1\\ 1 & 1& 1\\ 1 & 1& 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2& 1\\ 1 & 2& 1\\ 1 & 2& 1 \end{vmatrix} $$

同时:

$$ \begin{vmatrix} 2& 2& 2\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1& 1& 1\\ 2& 2& 2\\ 1& 1& 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1& 2& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 2& 1 \end{vmatrix} = 0 $$

即行列式外面相乘的数值只能影响行列式内部的一行或者一列。上面的式子倒过来也一样,即行列式内部的每行及每列都可以提出来公因子并以乘法的方式放在行列式外面,例如:

$$ \begin{vmatrix} 2 & 2& 2\\ 1 & 1& 1\\ 6 & 6& 6 \end{vmatrix} = 2 \times 3 \times \begin{vmatrix} 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 2 \end{vmatrix} $$

矩阵的数乘与行列式不同,矩阵外面乘的数字可以影响矩阵中的每一个元素,例如:

$$ 2 \times \begin{bmatrix} 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2& 2& 2\\ 2& 2& 2\\ 2& 2& 2 \end{bmatrix} $$

上面的式子倒过来也成立,也就是说,如果要提取出一个矩阵的公因数放在矩阵外面,那么就需要考虑这个矩阵中的所有元素。

Tips:
那么,怎么记忆行列式和矩阵在加减运算以及数乘运算中的区别呢?
我们可以通过下面的方法辅助记忆:
行列式的符号是两条【直线】,我们可以认为这代表行列式比较【简单】,而矩阵的符号是两条【曲线】,我们可以认为这代表矩阵比较【复杂】。
因此,行列式的加减法每次只会作用于其中【一列或者一行】,行列式的数乘每次也只会作用于【一行或者一列】。但是,由于矩阵相对于行列式更【“复杂”】,因此,矩阵的加减法是对【所有行或者所有列】的加减法,矩阵的数乘也是会作用到【所有行或者所有列】的。

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