2024年考研数二第22题解析：线性方程组、正交变换

一、题目

设矩阵 $A$ $=$ $(\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})$ , $B$ $=$ $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2 \end{matrix})$ , 二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $x^{T} B A x$ . 已知方程组 $A x$ $=$ $0$ 的解均是 $B^{⊤} x$ $=$ $0$ 的解，但这两个方程组不同解.

(1) 求 $a$ , $b$ 的值;

(2) 求正交变换 $x$ $=$ $Q y$ 将 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 化为标准形.

难度评级：

二、解析

第 (1) 问 | 解法一

该解法利用了同阶的方程组对应的系数矩阵必然秩相等的性质。但是，该问要求解的未知量有两个，因此，需要做合适的变换组合，将这两个未知量联系起来，从而完成求解。

假设 $x = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ , 由于方程组 $A x$ $=$ $0$ 的解均是方程组 $B^{⊤} x$ $=$ $0$ 的解，所以：

$(\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$

$(\begin{matrix} 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$

于是：

$(\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$

也就是说 $A x$ $=$ $0$ 与 $A B^{⊤} x$ $=$ $0$ 同解。

同时，矩阵 $A$ 的秩为：

$r (A) = 2$

由于同解的矩阵必然秩相等，因此

$r (\begin{matrix} A \\ B^{⊤} \end{matrix}) = r (A) = 2$

又因为，经过初等变换，可得：

$(\begin{matrix} A \\ B^{⊤} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) \to$

$(\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & b \\ 0 & 0 & 2 - b \end{matrix}) \to$

$(\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & b - 1 \\ 0 & 0 & 2 - b \end{matrix}) \to$

$(\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & b - 1 - a \\ 0 & 0 & 2 - b \end{matrix})$

于是，为了使 $r (\begin{matrix} A \\ B^{⊤} \end{matrix})$ $=$ $2$ , 必有：

${\begin{cases} b - 1 - a = 0 \\ 2 - b = 0 \end{cases} \to$

${\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases}$

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