[高数]不定积分待定系数法的基础:有理真分式分解定理

首先,能够进行分式分解的分式,必须是有理分式,且是真分式。

下面将从“什么是有理分式?”,“什么是真分式?”和“分式分解定理”这三个方面逐一讲解。

什么是有理分式?

有理分式是指一个分式的分子和分母都是多项式的分式。

例如,3x2+2x+1 就是一个多项式,而 x+13x2+2x+13x2+2x+1x+1 都是有理分式。

什么是真分式?

真分式是指分子的最高次数小于分母的最高次数的分式。

例如,x+13x2+2x+1 就是一个真分式(而且是一个有理真分式),3x2+2x+1x+1 则不是一个真分式。

分式分解定理

A(x)B(x) 为有理真分式,其中 B(x)=b1(x)b2(x), 且 b1(x)b2(x) 之间除了 1 之外没有其他公约式 【b1(x)b2(x) 互素】,则一定存在且唯一存在 a1(x)a2(x), 使得下式成立:

A(x)B(x)=a1(x)b1(x)a2(x)b2(x).

其中,a1(x)b1(x)a2(x)b2(x) 均为有理真分式。

当然,在上面的背景下,也可以进行如下扩展:

如果 B(x)=b1(x)b2(x)b3(x), 则:

A(x)B(x)=a1(x)b1(x)a2(x)b2(x)a3(x)b3(x).

其中,a1(x)b1(x), a2(x)b2(x)a3(x)b3(x) 均为有理真分式。

更多的扩展以此类推即可。


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