2012年考研数二第15题解析:常用等价无穷小、同阶无穷小、极限

题目

已知函数 f(x)=1+xsinx1x, 记 a=limx0f(x).

()a 的值;

() 若当 x0 时,f(x)axk 是同阶无穷小量,求常熟 k 的值。

解析

()

由于:

1+xsinx1x=

1sinx+xsinx1x.

于是:

limx0(1+xsinx1x)=

limx0(1sinx1x)+limx0xsinx=

limx0(1x1x)+limx0xx=

0+1=1.

又由于:

a=limx0f(x).

于是:

a=1.

()

由第 () 问知:

a=1.

于是:

limx0f(x)a=

limx0(1+xsinx1x1)=

limx0[x(1+x)sinxxsinxxsinx]=

limx0[x+x2sinxxsinxxsinx]=

limx0[(xsinxx2)+x(xsinx)x2]=

limx0[16x3x2+x16x3x2]=

limx0[16x+16x2]=

limx016x+limx016x2=

limx016x.

注:当 x0 时,x2 远小于 x, 故舍去 16x2, 只保留 16x 即可。

于是,若 f(x)axk 是同阶无穷小量,即当 x0 时,16xxk 是同阶无穷小,则:

k=1.


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