2012年考研数二第15题解析:常用等价无穷小、同阶无穷小、极限 题目 已知函数 f(x)=1+xsinx–1x, 记 a=limx→0f(x). Ⅰ(Ⅰ) 求 a 的值; Ⅱ(Ⅱ) 若当 x→0 时,f(x)–a 与 xk 是同阶无穷小量,求常熟 k 的值。 解析 第 Ⅰ(Ⅰ) 问 由于: 1+xsinx–1x= 1sinx+xsinx–1x. 于是: limx→0(1+xsinx–1x)= limx→0(1sinx–1x)+limx→0xsinx= limx→0(1x–1x)+limx→0xx= 0+1=1. 又由于: a=limx→0f(x). 于是: a=1. 第 Ⅱ(Ⅱ) 问 由第 Ⅰ(Ⅰ) 问知: a=1. 于是: limx→0f(x)–a= limx→0(1+xsinx–1x–1)= limx→0[x(1+x)–sinx–x⋅sinxx⋅sinx]= limx→0[x+x2–sinx–x⋅sinxx⋅sinx]= limx→0[(x–sinxx2)+x(x–sinx)x2]= limx→0[16x3x2+x⋅16x3x2]= limx→0[16x+16x2]= limx→016x+limx→016x2= limx→016x. 注:当 x→0 时,x2 远小于 x, 故舍去 16x2, 只保留 16x 即可。 于是,若 f(x)–a 与 xk 是同阶无穷小量,即当 x→0 时,16x 与 xk 是同阶无穷小,则: k=1. 相关文章: 2016年考研数二第15题解析:无穷小、e 抬起、两个重要无穷小 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 2010 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析(三种方法) 2012年考研数二第21题解析:数列、零点定理、极限 2018年考研数二第02题解析 2008 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析(两种方法+手写作答) 2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分 2011年考研数二第06题解析 2014年考研数二第15题解析:极限、等价无穷小、麦克劳林公式 2013年考研数二第15题解析:等价无穷小 2011年考研数二真题第13题解析:二重积分的计算,三种解法 2017年考研数二第18题解析:导数、函数极值、单调性 2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算 2011年考研数二第19题解析:函数单调性、微分中值定理、定积分、数列 1998 年研究生入学考试数学二填空题第 1 题解析(三种方法) 2017年考研数二第15题解析:变限积分、洛必达法则、无穷小 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 2011年考研数二第09题解析 2017年考研数二第16题解析:二阶偏导数、复合函数求导 2011年考研数二第18题解析:导数、三角函数、对数、二阶微分方程 2018 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析 2018年考研数二第09题解析 2014年考研数二第18题解析:偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程 2015年考研数二第20题解析:物理应用、微分、一阶线性微分方程 2018年考研数二第15题解析:分部积分法、求导