[高数]摆线及其性质

前言

本文将对摆线做一个介绍并列举一些摆线的基本性质。

Note

摆线是数学一、数学二、数学三都可能考察的知识点。

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正文

什么是摆线

在数学上，摆线指的是一个圆沿着一条直线滚动时，圆边界上一个固定的点所形成的轨迹，如图 1 所示的这条红线即为摆线：

摆线的基本性质

一个半径为 $r$ 的圆所形成的过平面直角坐标原点的摆线的参数方程为：

$$\{\begin{array}{c}x=r(t–\sin t);\\ y=r(1–\cos t).\end{array}$$

上面的参数 $t$ 是该圆滚动过的角度，当圆滚动一周 ($t=0\to 2\pi$) 就会形成一个完整的“拱”。这个完整的“拱”有如下性质：

一、拱的跨度为 $2\pi r$ (一个圆转了 360 度之后刚好转完一周，因此，这个圆“行走的轨迹”的长度，同时也是拱的跨度，刚好是圆的周长).

二、拱的长度为 $8r$ (圆直径的 $4$ 倍).

三、拱和坐标轴所围成图形的面积为 $3\pi r^2$ (圆面积的 $3$ 倍).

四、拱的高度为 $2r$ (一个拱的最高点的高度就是元的直径).

例如图 2 所示，这是一个由半径为 $2$ 的圆所生成的摆线，从图中可以看到该摆线的两个完整的拱：

References:
[1]. 摆线 – 维基百科，自由的百科全书
https://zh.wikipedia.org/wiki/摆线

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