[高数]使用变量的对称性快速写出有关结论

前言

在解题过程中，注意使用【变量的对称性】所隐含的性质可以提高解题速度。本文将对此进行一个说明，以作参考。

正文

关于【变量的对称性】，简而言之就是，如果在一个式子中，将原式中的 $x$ 换成 $y$, 将原式中的 $y$ 换成 $x$ 之后得到的新式子和原来的式子是等价的，则这其中的 $x$ 和 $y$ 就是具有对称性的两个变量。在这样的式子中，如果单独对原式中的 $x$ 做了一系列运算得到了结果 $A$, 那么，只需要把 $A$ 中的 $x$ 或 $y$ 全部替换成与其对称的变量 $y$ 或 $x$ 就可以得到对原式中的 $y$ 做同种类型的一系列运算所得到的结果 $B$.

例一：

设：

$$z=xy$$

则：

$$z_x^{‘}=y.\mathrm{①}$$

直接把 $\mathrm{①}$ 式中的 $y$ 换成 $x$ 就得到了 $z_y^{‘}$ 的运算结果：

$$z_y^{‘}=x.$$

例二：

设：

$$z=x^2+y^2+t$$

则：

$$z_x^{‘}=2x.$$

由变量的对称性直接可得：

$$z_y^{‘}=2y.$$

注意

一、变量的对称性只可能存在于两个变量之间，但这并不妨碍我们在存在两个以上变量的式子中应用该性质。

二、使用变量的对称性之前一定要认真检查这种对称性知否真的存在，不能看到有两个变量就使用变量的对称性。

EOF