2014年考研数二第06题解析

题目

设函数 $u(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 内二阶连续可导，且满足 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}\ne 0$, $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$, 则 $?$

$$A.u(x,y)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{和}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{都}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{边}\mathrm{界}\mathrm{上}\mathrm{取}\mathrm{得}$$

$$B.u(x,y)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{和}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{都}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{取}\mathrm{得}$$

$$C.u(x,y)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{取}\mathrm{得}，\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{边}\mathrm{界}\mathrm{上}\mathrm{取}\mathrm{得}$$

$$D.u(x,y)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{取}\mathrm{得}，\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{在}D\mathrm{的}\mathrm{边}\mathrm{界}\mathrm{上}\mathrm{取}\mathrm{得}$$

解析

无论在真题中遇到什么题，始终要记住的一点就是：这个题一定可以用书中的公式和性质解出来，除此之外，不会有更加深澳的解法。因此，看到一道题时，首先要认真读题，之后确定这是考察的哪部分知识，然后，调取出和这部分知识有关的公式和性质，最后，利用这些公式和性质解题。真题解题时都是紧扣有关公式和性质的，解法的思维发散性很低。

对于本题，就是考察通过二阶偏导数判断极值状态的那部分知识：

• $AC-B^2>0$ 时有极值，且当 $A>0$ 时有极小值，当 $A<0$ 时有极大值；
• $AC-B^2<0$ 时没有极值；
• $AC-B^2=0$ 时不确定是否有极值。

本题告诉我们，在积分区域 $D$ 内部（不包括边界），有：

$$B\ne 0;$$

$$A+C=0\Rightarrow$$

$$A=C=0;$$

OR

$$A=-C.$$

于是，若 $A=C=0$, 则有：

$$AC-B^2=$$

$$0-B^2<0\Rightarrow D\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{极}\mathrm{值}。$$

若 $A=-C$, 则有：

$$-C^2–B^2=$$

$$-(C^2+B^2)<0\Rightarrow D\mathrm{内}\mathrm{部}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{极}\mathrm{值}。$$

由上述分析可知，$D$ 的内部一定不存在极值，但不知道 $D$ 的边界处是否存在极值。不过，题目的所有选项都没有提到极值不存在的情况，因此，极值一定存在且都存在于 $D$ 的边界上。

综上可知，正确选项为 $A$.

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