2015年考研数二第11题解析

题目

设函数 $f(x)$ 连续，$\phi (x)={\int }_0^{x^2}xf(t)dt$. 若 $\phi (1)=1$, ${\phi }^{‘}(1)=5$, 则 $f(1)=?$

解析

已知：

$$\phi (x)=x{\int }_0^{x^2}f(t)dt.$$

$${\phi }^{‘}(x)={\int }_0^{x^2}f(t)dt+x\cdot f(x^2)\cdot 2x.$$

且：

$$\phi (1)={\int }_0^{1}f(t)dt=1.\mathrm{①}$$

$${\phi }^{‘}(1)={\int }_0^{1}f(t)dt+2f(1)=5.\mathrm{②}$$

联立 $\mathrm{①}$, $\mathrm{②}$ 两式可知：

$$1+2f(1)=5\Rightarrow$$

$$2f(1)=4\Rightarrow$$

$$f(1)=2.$$

综上可知，正确答案为 $2$.

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