2016年考研数二第08题解析

题目

编号:A2016208

设二次型 f(x1,x2,x3) = a(x12+x22+x32) + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 的正、负惯性指数分别为 12, 则 ?

A.a>1

B.a<2

C.2<a<1

D.a=1a=2

解析

二次型 f 的矩阵 A=

|a111a111a|

于是,由 |λEA|=0 得:

|λa111λa111λa|

注意:化简这种行相加或者列相加值相等的行列式的方法一般都是将其余行或者列的元素都加到第一列或者第一行。

|λa2λa2λa21λa111λa|

(λa2)|1111λa111λa|

(λa2)|1110λa+1000λa+1|

(λa2)(λa+1)2.

于是有:

(λa2)(λa+1)2=0.

即:

λa2=0;

λa+1=0.

于是得:

λ1=a+2;

λ2=λ3=a1.

由于无论 a 的值是多少,都有:

a+2>a1.

而且,二次型 f 的正惯性指数为 1, 负惯性指数为 2, 于是可知:

a+2>0;

a1<0.

因此:

1>a>2.

综上可知,正确选项为 C.

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