2016年考研数二第08题解析

题目

编号:A2016208

设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $a(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})$ $+$ $2x_{1}x_{2}$ $+$ $2x_{1}x_{3}$ $+$ $2x_{2}x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 $1$, $2$, 则 $?$

$$A. a > 1$$

$$B. a < -2$$

$$C. -2 < a < 1$$

$$D. a=1 或 a = -2$$

解析

二次型 $f$ 的矩阵 $A=$

$$\begin{vmatrix} a&  1& 1\\  1&  a& 1\\  1&  1& a\end{vmatrix}$$

于是,由 $|\lambda E – A| = 0$ 得:

$$\begin{vmatrix} \lambda – a&  -1& -1\\  -1&  \lambda – a& -1\\  -1&  -1& \lambda – a\end{vmatrix} \Rightarrow$$

注意:化简这种行相加或者列相加值相等的行列式的方法一般都是将其余行或者列的元素都加到第一列或者第一行。

$$\begin{vmatrix} \lambda – a-2&  \lambda – a-2& \lambda – a-2\\  -1&  \lambda – a& -1\\  -1&  -1& \lambda – a\end{vmatrix} \Rightarrow$$

$$(\lambda – a – 2)\begin{vmatrix} 1&  1& 1\\  -1&  \lambda – a& -1\\  -1&  -1& \lambda – a\end{vmatrix} \Rightarrow$$

$$(\lambda – a – 2)\begin{vmatrix} 1&  1& 1\\  0&  \lambda – a + 1& 0\\  0&  0& \lambda – a + 1\end{vmatrix} \Rightarrow$$

$$(\lambda – a – 2)(\lambda – a + 1)^{2}.$$

于是有:

$$(\lambda – a – 2)(\lambda – a + 1)^{2} = 0.$$

即:

$$\lambda – a – 2 = 0;$$

$$\lambda – a + 1 = 0.$$

于是得:

$$\lambda_{1} = a + 2;$$

$$\lambda_{2} = \lambda_{3} = a – 1.$$

由于无论 $a$ 的值是多少,都有:

$$a + 2 > a – 1.$$

而且,二次型 $f$ 的正惯性指数为 $1$, 负惯性指数为 $2$, 于是可知:

$$a + 2 > 0;$$

$$a – 1 < 0.$$

因此:

$$1 > a > -2.$$

综上可知,正确选项为 $C$.

EOF


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress