[高数]扩展后的基本积分公式列表

注意

• 以下公式中所有 $x$ 都可以整体替换成方块 $◻$，也就是说，下面公式中的 $x$ 可以替换成任意包含变量的式子，但要注意的是，要替换则整个式子中的 $x$ 都要统一替换。
• 用不定积分时不要忘记在式子的最后加上常数 $C$.

公式

(1)

$$\int x^{k}dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C,(k\ne -1).$$

扩展：

$$\int \frac{1}{u^2}dx=-\frac{1}{u}+C.$$

(2)

$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C.$$

上式中，由于不确定 $x$ 是否大于 $0$, 而在 $\ln x$ 中，$x$ 必须大于 $0$, 因此这里要加上绝对值。

扩展：

$$\int \frac{-3}{x-2}dx=-3\ln |x-2|+C.$$

(3)

$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C.$$

扩展：

$$\int a^{-x}dx=\frac{a^{-x}}{\ln a}+C.$$

(4)

$$\int e^{x}dx=e^x+C.$$

(5)

$$\int \cos xdx=\sin x+C.$$

(6)

$$\int \sin xdx=–\cos x+C.$$

扩展：

$$\int \sin k\pi xdx=-\frac{1}{k\pi }\cos k\pi x+C.$$

(7)

$$\int \frac{1}{\sin x}dx=\int \csc xdx=\ln |\csc x–\cot x|+C.$$

(8)

$$\int \frac{1}{\cos x}dx=\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C.$$

(9)

$$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\int {\csc }^{2}xdx=–\cot x+C.$$

(10)

$$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C.$$

(11)

$$\int \tan xdx=–\ln |\cos x|+C.$$

(12)

$$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C.$$

(13)

$$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C.$$

(14)

$$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C.$$

(15)

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C.$$

(16)

$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C.$$

(17)

$$\int \frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C.$$

(18)

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C.$$

扩展：

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2–x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C.$$

(19)

$$\int \frac{1}{1-x^2}dx=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C.$$

扩展：

$$\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C.$$

(20)

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C.$$

EOF