2019年考研数二第14题解析

题目

已知矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4 \end{bmatrix}$ ,$A_{ij} $ 表示$|A|$中$(i,j)$元的代数余子式,则$A_{11}-A_{12}=?$

解法一

本题可以直接算。

这里需要注意的是,余子式部分正负,代数余子式分正负。

此外就是,此类计算题十分容易算错,因此计算过程要极为认真。

因为:

$$ |A|= \begin{vmatrix} 1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4 \end{vmatrix} $$

所以:

$$ A_{11}= (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1& -1& 1\\ -2& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1& -1& 1\\ -2& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} =-3 $$

$$ A_{12}= (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -2& -1& 1\\ 3& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2& 1& -1\\ 3& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} =1 $$

因此:

$$ A_{11} – A_{12} = -3 – 1 = -4.$$

解法二

本题还可以使用一些技巧计算。

由于:

$$ |A|= \begin{vmatrix} 1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4 \end{vmatrix} $$

所以:

$$ |A|=1 \times A_{11} + (-1) \times A_{12} + 0 \times A_{13} + 0 \times A_{14} $$

即:

$$ A_{11} – A_{12} = |A|. $$

又:

$$ |A|= \begin{vmatrix} 1& 0& 0& 0\\ -2& -1& -1& 1\\ 3& 1& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4 \end{vmatrix} = $$

$$ \begin{vmatrix} -1& -1& 1\\ 1& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} = $$

$$ \begin{vmatrix} 0& 1& 0\\ 1& 2& -1\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} = $$

$$ \begin{vmatrix} 0& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 3& 4 \end{vmatrix} = $$

$$ (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1& 0\\ 0& 4 \end{vmatrix} =-4 $$

综上可知,正确答案为:$-4.$

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