长除法（多项式除法）的降幂和升幂两种计算方式简述

一、前言

长除法这种计算方式在计算两个多项式相除时非常有用，而且，长除法有“ 降 幂 ”和“ 升 幂 ”两种计算方式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给同学讲明白下面这三个主要问题：

1. 在长除法中，什么是“ 降 幂 ”？什么是“ 升 幂 ”？
2. 怎么做 降 幂 长除法？怎么做 升 幂 长除法？
3. 什么时候用 降 幂 长除法？什么时候用 升 幂 长除法？

二、正文

一、在长除法中，什么是“ 降 幂 ”？什么是“ 升 幂 ”？

所谓“ 降 幂 ”说的是多项式中变量的次幂从左到右不断减少或者不发生变化（次幂相同的变量实际上可以消去），总之，多项式中变量的次幂从左到右不会增加。

例如，下面这两个多项式都是 降 幂 的多项式：

$$
x ^{ 3 } + x ^{ \textcolor{#c9c9c9}{1} } – 2x^{ \textcolor{#c9c9c9}{1} } + 1 \textcolor{#c9c9c9}{\cdot x^{0}}
$$

$$
x ^{ 3 } + x ^{ \textcolor{#c9c9c9}{1} } + 1 \textcolor{#c9c9c9}{\cdot x^{0}}
$$

类似的，所谓“ 升 幂 ”说的是多项式中变量的次幂从左到右不断增加或者不发生变化（次幂相同的变量实际上可以消去），总之，多项式中变量的次幂从左到右不会减少。

例如，下面这两个多项式都是 升 幂 的多项式：

$$
1 \textcolor{#c9c9c9}{\cdot x^{0}} + x ^{ \textcolor{#c9c9c9}{1} } + x ^{ 2 }
$$

$$
1 \textcolor{#c9c9c9}{\cdot x^{0}} + x ^{ \textcolor{#c9c9c9}{1} }
$$

搞清楚了上面这个两个问题，我们就很容易明白，所谓“长除法的 降 幂 ”形式，说的就是经过长除运算得到的多项式中变量的次幂从左到是逐渐减少的，而所谓“长除法的 升 幂 ”形式，说的就是经过长除运算得到的多项式中变量的次幂从左到是逐渐增加的。

二、怎么做 降 幂 长除法？怎么做 升 幂 长除法？

1. 在长除法中，如果被除式和除式都是 降 幂 的，那么，得到的结果也是 降 幂 的（我们可以用 “$\textcolor{yellow}{\frac{\searrow}{\searrow}}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{yellow}{\searrow}$” 记忆该性质），例如：

$$
\require{enclose}
\begin{array}{r}
x^{2} \phantom{0000000} \\[-3pt]
x + 1 \enclose{longdiv}{ x^{3} + x + 1 }\kern-.5ex \\[-3pt]
\underline{ x^{3} + x^{2} \phantom{0000000}}\kern-9.8ex \phantom{0000} \\[-3pt]
\phantom{00}-x^{2} + x + 1 \kern-5ex \\[-3pt]
\vdots
\end{array}
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
\require{enclose}
\begin{array}{r}
\textcolor{springgreen}{ x^{2} – x + 2 } \\[-3pt]
\textcolor{springgreen}{x + 1} \enclose{longdiv}{ x^{3} + x + 1 }\kern-.5ex \\[-3pt]
\underline{ x^{3} + x^{2} \phantom{0000000}}\kern-9.8ex \phantom{0000} \\[-3pt]
\phantom{00}-x^{2} + x + 1 \kern-5ex \\[-3pt]
\underline{ -x^{2} – x + 0 \phantom{00} } \kern -7.3ex \\[-3pt]
\phantom{00} 2x + 1 \kern-5ex \\[-3pt]
\underline{ 2x + 2} \kern-5ex \\[-3pt]
\textcolor{orangered}{-1} \kern-5ex \\[-3pt]
\end{array}
$$

2. 在长除法中，如果被除式和除式都是 升 幂 的，那么，得到的结果也是 升 幂 的（我们可以用 “$\textcolor{yellow}{\frac{\nearrow}{\nearrow}}$ $\Rightarrow$ $\textcolor{yellow}{\nearrow}$” 记忆该性质），例如：

$$
\require{enclose}
\begin{array}{r}
\textcolor{springgreen}{ 1 } \kern9.8ex \\[-3pt]
\textcolor{springgreen}{1 + x} \enclose{longdiv}{ 1 + x + x^{3} } \\[-3pt]
\underline{ 1 + x + 0 \phantom{0000000}}\kern-11.2ex \phantom{0000} \\[-3pt]
\phantom{00}x^{3} + 0 \kern-3.6ex \\[-3pt]
\vdots
\end{array}
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
\require{enclose}
\begin{array}{r}
\textcolor{springgreen}{ 1 + x^{3} – x^{4} } \kern-.4ex \\[-3pt]
\textcolor{springgreen}{1 + x} \enclose{longdiv}{ 1 + x + x^{3} } \\[-3pt]
\underline{ 1 + x + 0 \phantom{0000000}}\kern-11.2ex \phantom{0000} \\[-3pt]
\phantom{00}x^{3} + 0 \kern-3.6ex \\[-3pt]
\underline{ x^{3} + x^{4} \phantom{00} } \kern -7ex \\[-3pt]
\phantom{00} \textcolor{red}{ -x^{4} – x^{5} } \kern-10ex \\[-3pt]
\vdots
\end{array}
$$

3. 此外，由于“被除式 降 幂 ，除式 升 幂 ”和“被除式 升 幂 ，除式 降 幂 ”这两种情况下一般不利于我们使用长除法进行计算，所以不在本文的讨论范围之内。

三、什么时候用 降 幂 长除法？什么时候用 升 幂 长除法？

一般情况下，如果使用 降 幂 长除法可以“精确地恰好”完成运算就用 降 幂 长除法，如果使用 升 幂 长除法可以“精确地恰好”完成运算就用 升 幂 长除法。这里所说的“精确地恰好”指的是下面这种形式，也就是所得的结果乘以除数再加上余数之后，和被除数完全相等：

$$
\require{enclose}
\begin{array}{r}
\textcolor{springgreen}{ x^{2} – x + 2 } \\[-3pt]
\textcolor{springgreen}{x + 1} \enclose{longdiv}{ x^{3} + x + 1 }\kern-.5ex \\[-3pt]
\underline{ x^{3} + x^{2} \phantom{0000000}}\kern-9.8ex \phantom{0000} \\[-3pt]
\phantom{00}-x^{2} + x + 1 \kern-5ex \\[-3pt]
\underline{ -x^{2} – x + 0 \phantom{00} } \kern -7.3ex \\[-3pt]
\phantom{00} 2x + 1 \kern-5ex \\[-3pt]
\underline{ 2x + 2} \kern-5ex \\[-3pt]
\textcolor{orangered}{-1} \kern-5ex \\[-3pt]
\end{array}
$$

$$
\Downarrow
$$

$$
\begin{aligned}
S & = ( \textcolor{springgreen}{ x ^{ 2 } – x + 2 } ) ( \textcolor{springgreen}{ x+1 }) \textcolor{orangered}{- 1} \\
& = x ^{ 3 } – x ^{ 2 } + 2x + x ^{ 2 } – x + 2 \\
& = x ^{ 3 } + x + 1
\end{aligned}
$$

不过，在有些情况下，我们可能不得不根据题目的求解要求来使用 降 幂 长除法或者 升 幂 长除法中的一种，这时候也可以使用，但得到的结果可能是“不精确不恰好”的，但这有时候恰恰是符合我们期望的。

例如，已知当 $x \rightarrow 0$ 的时候，$\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式如下：

$$
\begin{aligned}
\sin x & = x – \frac{1}{6} x ^{ 3 } + o(x ^{ 3 }) \\ \\
\cos x & = 1 – \frac{1}{2} x ^{ 2 } + o(x ^{ 3 })
\end{aligned}
$$

又因为：

$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{x – \frac{1}{6} x ^{ 3 } + o(x ^{ 3 })}{1 – \frac{1}{2} x ^{ 2 } + o(x ^{ 3 })}
$$

所以，根据长除法，可得：

$$
\require{enclose}
\begin{array}{r}
\textcolor{springgreen}{ x + \frac{1}{3} x^{3} } \kern-.4ex \\[-3pt]
\textcolor{springgreen}{1 – \frac{1}{2} x^{2} } \enclose{longdiv}{ x – \frac{1}{6} x^{3} } \\[-3pt]
\underline{ x – \frac{1}{2} x^{3} \phantom{0000000}}\kern-12.3ex \phantom{0000} \\[-3pt]
\phantom{00} \frac{1}{3} x^{3} – 0 \kern-3.6ex \\[-3pt]
\underline{ \frac{1}{3} x^{3} – \frac{1}{6} x^{5} \phantom{00} } \kern -8.9ex \\[-3pt]
\phantom{00} \textcolor{red}{ -\frac{1}{6} x^{5} } \kern-6.6ex \\[-3pt]
\vdots
\end{array}
$$

于是可知，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，$\tan x$ 的麦克老林公式为：

$$
\tan x = x + \frac{1}{3} x ^{ 3 } + o(x ^{ 3 })
$$

虽然根据上面的计算，我们只能得出近似于 $\textcolor{springgreen}{ x }$ $\textcolor{springgreen}{-}$ $\textcolor{springgreen}{ \frac{1}{6} x ^{ 3 } }$ 的下面这个结果，但仍然符合我们在 $x \rightarrow 0$ 这个条件下的期望：

$$
\begin{aligned}
(x + \frac{1}{3} x ^{ 3 }) (1 – \frac{1}{2} x ^{ 2 }) \\
& = x – \frac{1}{2} x ^{ 3 } + \frac{1}{3} x ^{ 3 } + \frac{1}{6} x ^{ 6 } \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ x – \frac{1}{6} x ^{ 3 } } + \frac{1}{6} x ^{ 6 }
\end{aligned}
$$

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