用乘除法连接的等价无穷小可以采取“逐个击破”的方式计算

题目 01

$I$ $=$ $lim_{x \to 0} \frac{(1 - \sqrt{\cos x}) (3^{2 x} - 1)}{\tan (\sin x) \ln (\cos 2 x)}$ $=$ $?$

难度评级：

解析 01

由于题目所给式子中的 “ $1 - \sqrt{\cos x}$ ”, “ $3^{2 x} - 1$ ”, “ $\tan (\sin x)$ ” 和 “ $\ln (\cos 2 x)$ ” 都是在分子或者分母中以乘法“连接”的，而且分式本身就是一种除法运算，因此，这四个式子全都是用乘除法“连接”的，所以，可以采取逐个计算其等价无穷小，之后合并到一起之后再计算整个式子的值的方式完成求解。

Note

以下式子的计算默认都是在 $x \to 0$ 的条件下进行的，为了表述的简洁起见，没有一一标注。
zhaokaifeng.com

*

由于：

$1 - \cos x = (1 + \sqrt{\cos x}) (1 - \sqrt{\cos x})$

所以：

$\begin{aligned} 1 - \sqrt{\cos x} \\ = \frac{1 - \cos x}{1 + \sqrt{\cos x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2} \\ = \frac{1}{4} x^{2} \end{aligned}$

**

由于：

$a^{x} - 1 \sim x \ln a$

所以：

$3^{2 x} - 1 \sim 2 x \ln 3$

***

$\tan (\sin x) \sim \sin x \sim x$

****

$\begin{aligned} \ln (\cos 2 x) \\ \sim \ln [1 + (\cos 2 x - 1)] \\ \sim \cos 2 x - 1 \\ \sim \frac{- 1}{2} 4 x^{2} \\ = - 2 x^{2} \end{aligned}$

合并

综上可知：

$\begin{aligned} I \\ = \frac{\frac{1}{4} x^{2} \cdot 2 x \ln 3}{x \cdot (- 2 x^{2})} \\ = \frac{\frac{1}{2} \ln 3 \cdot x^{3}}{- 2 x^{3}} \\ = \frac{- \ln 3}{4} \end{aligned}$

页码： 12