题目 01
$I$ $=$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})\left(3^{2 x}-1\right)}{\tan (\sin x) \ln (\cos 2 x)}$ $=$ $?$
难度评级：
解析 01
由于题目所给式子中的 “$1-\sqrt{\cos x}$”, “$3^{2 x}-1$”, “$\tan (\sin x)$” 和 “$\ln (\cos 2 x)$” 都是在分子或者分母中以乘法“连接”的，而且分式本身就是一种除法运算，因此，这四个式子全都是用乘除法“连接”的，所以，可以采取逐个计算其等价无穷小，之后合并到一起之后再计算整个式子的值的方式完成求解。
Note
以下式子的计算默认都是在 $x \rightarrow 0$ 的条件下进行的，为了表述的简洁起见，没有一一标注。
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*
由于：
$$
1 – \cos x = (1+\sqrt{\cos x})(1-\sqrt{\cos x})
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
1-\sqrt{\cos x} \\ \\
& = \frac{1-\cos x}{1+\sqrt{\cos x}}=\frac{\frac{1}{2} x^2}{2} \\ \\
& = \frac{1}{4} x^2
\end{aligned}
$$
**
由于：
$$
a^x-1 \sim x \ln a
$$
所以：
$$
3^{2 x} – 1 \sim 2 x \ln 3
$$
***
$$
\tan (\sin x) \sim \sin x \sim x
$$
****
$$
\begin{aligned}
\ln (\cos 2 x) \\ \\
& \sim \ln [1+(\cos 2 x-1)] \\ \\
& \sim \cos 2 x-1 \\ \\
& \sim \frac{-1}{2} 4 x^2 \\ \\
& = -2 x^2
\end{aligned}
$$
合并
综上可知：
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac{\frac{1}{4} x^2 \cdot 2 x \ln 3}{x \cdot\left(-2 x^2\right)} \\ \\
& = \frac{\frac{1}{2} \ln 3 \cdot x^3}{-2 x^3} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\frac{-\ln 3}{4}}
\end{aligned}
$$