2024年考研数二第22题解析：线性方程组、正交变换 - 第2页共3页

设矩阵 $A$ $=$ $(\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})$ , $B$ $=$ $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2 \end{matrix})$ , 二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $x^{T} B A x$ . 已知方程组 $A x$ $=$ $0$ 的解均是 $B^{⊤} x$ $=$ $0$ 的解，但这两个方程组不同解.

(1) 求 $a$ , $b$ 的值;

(2) 求正交变换 $x$ $=$ $Q y$ 将 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 化为标准形.

第 (1) 问 | 解法二

该解法通过直接求解方程组 $A x$ $=$ $0$ 的解，以及方程组 $B^{⊤} x$ $=$ $0$ 的解，通过对这两个解形式的分析，在满足 $A x$ $=$ $0$ 的解均是 $B^{⊤} x$ $=$ $0$ 的解的条件下，确定未知量 $a$ 和 $b$ 的取值。

首先，对矩阵 $A$ 进行初等【行】变换，有：

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & a \end{matrix})$

得 $A x = 0$ 的解为 $x$ $=$ $k (- 1, - a, 1)^{⊤}$ , 其中 $k$ 为任意常数。

注意：对线性方程组系数矩阵的化简一般只能使用初等行变换，详细说明可以参考荒原之梦考研数学的这篇文章《化简列向量组只能使用初等行变换吗？不是的，但最好只使用初等行变换》

接着，对矩阵 $B^{⊤}$ 进行初等【行】变换，有：

$B^{⊤} = (\begin{matrix} 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & 1 & b \\ 0 & 0 & 2 - b \end{matrix})$

对于 $b$ 的取值以及方程组对应的解，我们需要分情况讨论：

*若 $b$ $=$ $2$ , 则 $B^{⊤} x = 0$ 的解为 $x$ $=$ $k_{1} (- 1, 1, 0)^{⊤}$ $+$ $k_{2} (- 2, 0, 1)^{⊤}$ , 其中 $k_{1}$ , $k_{2}$ 为任意常数；

**若 $b$ $\neq$ $2$ , 则 $B^{⊤} x$ $=$ $0$ 的解为 $x$ $=$ $k_{3} (1, - 1, 0)^{⊤}$ , 其中 $k_{3}$ 为任意常数.

分析可知，当 $b$ $\neq$ $2$ 时， $A x = 0$ 的解为 $x$ $=$ $k (- 1, - a, 1)^{⊤}$ 一定和 $B^{⊤} x$ $=$ $0$ 的解 $x$ $=$ $k_{3} (1, - 1, 0)^{⊤}$ 不相等。

所以，只能有：

$b = 2$

此时：

$B^{⊤} \to (\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

接着，将 $x$ $=$ $(- 1, - a, 1)^{⊤}$ 代入 $B^{⊤} x$ $=$ $0$ , 得：

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 1 \\ - a \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow$

$- 1 - a + 2 = 0 \Rightarrow$

$a = 1$

综上：

${\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases}$

页码： 123