一、前言
根据我目前掌握的信息,中文互联网上至少从 2012 年开始,就有人询问下面这类线性代数问题:
§ 如果 , 那么可以得出 吗?
§ 为什么由 不可以推出 ?
虽然此后每隔几年都有人问上面这类问题,但是得到的解释要么涉及高等代数的概念,要么就仅仅是搬出来教材上给定的结论,直接说: ——
上面这类解释其实都没能回答下面这两个核心疑问:
- 为什么由 不一定能推出 ?
- 应该是一个怎样的矩阵?
在本文中,荒原之梦网就利用最基本的线性代数知识,解释明白上面这两个疑问,大家继续往下看哦。
注意:本文接下来的内容只作为兴趣讨论,在工科考研数学中,我们只需要记住:“由 不一定能得出 ”这一结论即可。
二、正文
一、证明过程
假设有 阶矩阵 和 , 且 , 则:
由于 为实对称矩阵,因此,一定存在可逆矩阵 将矩阵 相似对角化,得到对角矩阵 :
由于矩阵 可逆,, 于是:
因此,对于 式:
由于对角矩阵相似对角化之后还是原来的自己,因此, 相似对角化所得的对角矩阵 其实就是 :
而且,由于对角矩阵在对角化的过程中,其行和列最终没有发生任何变化,因此,完成前文中对角化的可逆矩阵 其实就是矩阵 (, 为单位矩阵):
. ( 为单位矩阵,可逆)
于是,对于 式,有:
接着,我们可以对矩阵 进行分块,针对 可逆与不可逆的子式,分别进行讨论:
① 当矩阵 的行列式 时,有且仅有矩阵 ;同理,当矩阵 的子式 的行列式 时,有且仅有矩阵 中对应位置和大小的分块 ;
② 假如 已经充分化简:当矩阵 的行列式 时,矩阵 可以包含任意元素;同理,当矩阵 的子式 的行列式 时,矩阵 中对应位置和大小的分块矩阵 可以包含任意元素。
③ 假如 尚未充分化简:当矩阵 的行列式 时,矩阵 具体包含什么范围的元素需要由具体的计算确定;同理,当矩阵 的子式 的行列式 时,矩阵 中对应位置和大小的分块矩阵 具体包含什么范围的元素需要由具体的计算确定。
二、在具体矩阵中的应用示例
当 时,由于 , 但其中包含一个可逆的子式 , 因此,在 的运算中,我们能直接确定的就是在矩阵 中一定含有一个和矩阵 中的子式 在同样位置和同样大小的单位矩阵 :
但是,由于矩阵 没有充分化简,因此,上面矩阵 中用 “” 号表示的位置的元素到底是必须为零还是不必须为零,需要在具体的乘法计算中确定。
如果我们现在有一个已经充分化简的矩阵 :
那么,我们就可以直接得到满足 运算的 :
其中, 可以为任意常数。
三、在抽象矩阵中的应用示例
虽然在前面所得的结论中, 中的 并不是一个能完全确定的矩阵,但在某些计算中,由于 中的 与 存在关联,因此,我们可以进一步探索此时的矩阵 会具有的一些性质。
例如,已知:
由前面的结论可得:
于是,若 , 则:
若 , 则:
首先,为了使 , 如果 (可能包含为负数的元素)和 (只包含为正数或零的元素)想要在加法运算中抵消各自含有的非零元素,就需要 , 但此时 , 因此,当 时,只能有(此时用特征值进行判断更方便,这里主要是为了提供另一种思路):
由于矩阵 可能是任意一个秩小于 的矩阵,为了方便接下来的讨论,我们不妨假设 是一个很大很大的数,其中 行(或者列)中的元素是全为零的,且 .
但是,只要 , 根据矩阵具有“越乘零越多”的趋势,我们不能保证在 不可逆的情况下, 和 都是零矩阵,因此,为了保证 为任意阶矩阵时 都成立,此时,只能有:
当然,上面两种情况中得矩阵 作为真正的矩阵 的一个子式也是满足条件的,例如,以下的矩阵 都能使 成立:
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。