用基础线性代数知识解释明白为什么由 AB=A 不一定能推出 B=E

一、前言 前言 - 荒原之梦

根据我目前掌握的信息,中文互联网上至少从 2012 年开始,就有人询问下面这类线性代数问题:

§ 如果 AB=A, 那么可以得出 B=E 吗?

§ 为什么由 AB=A 不可以推出 B=E?

虽然此后每隔几年都有人问上面这类问题,但是得到的解释要么涉及高等代数的概念,要么就仅仅是搬出来教材上给定的结论,直接说:AB=A B=E——

上面这类解释其实都没能回答下面这两个核心疑问:

  1. 为什么由 AB=A 不一定能推出 B=E?
  2. B 应该是一个怎样的矩阵?

在本文中,荒原之梦网就利用最基本的线性代数知识,解释明白上面这两个疑问,大家继续往下看哦。

二、正文 正文 - 荒原之梦

假设有 n 阶矩阵 AB, 且 n2, 则:

AB=A

(1)AAB=AA=|A|E

由于 AA=|A|E 为实对称矩阵,因此,一定存在可逆矩阵 P 将矩阵 AA 相似对角化,得到对角矩阵 Λ:

P1AAP=Λ

PP1AAP=PΛ

AAP=PΛ

AAPP=PΛP

AA|P|=PΛP

由于矩阵 P 可逆,|P|0, 于是:

AA=1|P|PΛP

因此,对于 (1) 式:

AAB=AA

1|P|PΛPB=1|P|PΛP

PΛPB=PΛP

P1PΛPB=P1PΛP

ΛPB=ΛP

ΛPBP=ΛPP

ΛPBP=Λ|P|

(2)1|P|ΛPBP=Λ

由于对角矩阵相似对角化之后还是原来的自己,因此,AA 相似对角化所得的对角矩阵 Λ 其实就是 |A|E:

Λ=|A|E

而且,由于对角矩阵在对角化的过程中,其行和列最终没有发生任何变化,因此,完成前文中对角化的可逆矩阵 P 其实就是矩阵 kEk=1,2,3,, E 为单位矩阵):

{P=kE|P|=knP=(kE)=kn1E=kn1E

EE=|E|E E=E. (E 为单位矩阵,可逆)

于是,对于 (2) 式,有:

1|P|ΛPBP=Λ

|A||P|PBP=|A|E

|A|knkn1EBkE=|A|E

|A|B=|AE

接着,我们可以对矩阵 A 进行分块,针对 A 可逆与不可逆的子式,分别进行讨论:

① 当矩阵 A 的行列式 |A|0 时,有且仅有矩阵 B=E;同理,当矩阵 A 的子式 Ai 的行列式 |Ai|0 时,有且仅有矩阵 B 中对应位置和大小的分块 Bi=E

② 假如 A 已经充分化简:当矩阵 A 的行列式 |A|=0 时,矩阵 B 可以包含任意元素;同理,当矩阵 A 的子式 Ai 的行列式 |Ai|=0 时,矩阵 B 中对应位置和大小的分块矩阵 Bi 可以包含任意元素。

③ 假如 A 尚未充分化简:当矩阵 A 的行列式 |A|=0 时,矩阵 B 具体包含什么范围的元素需要由具体的计算确定;同理,当矩阵 A 的子式 Ai 的行列式 |Ai|=0 时,矩阵 B 中对应位置和大小的分块矩阵 Bi 具体包含什么范围的元素需要由具体的计算确定。

A=[111020000] 时,由于 |A|=0, 但其中包含一个可逆的子式 |1102|0, 因此,在 AB=A 的运算中,我们能直接确定的就是在矩阵 B 中一定含有一个和矩阵 A 中的子式 [1102] 在同样位置和同样大小的单位矩阵 E:

B=[1001]

但是,由于矩阵 A 没有充分化简,因此,上面矩阵 B 中用 “” 号表示的位置的元素到底是必须为零还是不必须为零,需要在具体的乘法计算中确定。

如果我们现在有一个已经充分化简的矩阵 A:

A=[100020000]

那么,我们就可以直接得到满足 AB=A 运算的 B:

B=[10a501a4a1a2a3]

其中,a1,a2,,a5 可以为任意常数。

虽然在前面所得的结论中,AB=A 中的 B 并不是一个能完全确定的矩阵,但在某些计算中,由于 AB=A 中的 BA 存在关联,因此,我们可以进一步探索此时的矩阵 B 会具有的一些性质。

例如,已知:

{A(A+E)2=AA3+2A2=O

由前面的结论可得:

|A|(A+E)2=|A|E

于是,若 |A|0, 则:

(A+E)2=E

{A+E=EA=O 与前提矛盾,舍去A+E=EA=2E 成立 

|A|=0, 则:

首先,为了使 A3+2A2=O, 如果 A3(可能包含为负数的元素)和 2A2(只包含为正数或零的元素)想要在加法运算中抵消各自含有的非零元素,就需要 A=2E, 但此时 |A|0, 因此,当 |A|=0 时,只能有(此时用特征值进行判断更方便,这里主要是为了提供另一种思路):

{A3=O2A2=O

由于矩阵 A 可能是任意一个秩小于 n 的矩阵,为了方便接下来的讨论,我们不妨假设 n 是一个很大很大的数,其中 j 行(或者列)中的元素是全为零的,且 j<n.

但是,只要 nj>3, 根据矩阵具有“越乘零越多”的趋势,我们不能保证在 A 不可逆的情况下,A32A2 都是零矩阵,因此,为了保证 n 为任意阶矩阵时 A3+2A2=O 都成立,此时,只能有:

A=O

当然,上面两种情况中得矩阵 A 作为真正的矩阵 A 的一个子式也是满足条件的,例如,以下的矩阵 A 都能使 A3+2A2=O 成立:

{A=[000000000]A=[200020002]A=[200000000]A=[200020000]


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