1992 年考研数二真题解析

三、解答题 (本题满分 25 分, 每小题 5 分)

(1) 求 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{3+x}{6+x}\right)}^{\frac{r-1}{2}}$

$$\frac{3+x}{6+x}=1+\frac{3+x}{6+x}-1=1+\frac{-3}{6+x}\Rightarrow$$

$${\left(\frac{3+x}{6+x}\right)}^{\frac{x-1}{2}}={(1+\frac{-3}{6+x})}^{\frac{6+x}{-3}\cdot \frac{x-1}{2}\cdot \frac{-3}{6+x}}=$$

$$e^{\frac{3(1-x)}{2(6+x)}}=e^{\frac{-3x}{2x}}=e^{\frac{-3}{2}}$$

(2) 设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y-x{\mathrm{e}}^y=1$ 所确定, 求 ${\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}|}_{x=0}$ 的值.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y-x{e}^y=1\Rightarrow \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& y^{\prime }-e^y-x{y}^{\prime }{e}^y=0\Rightarrow \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& y^{\prime \prime }-y^{\prime }{e}^y-y^{\prime }{e}^y-x{y}^{\prime }\cdot y^{\prime }\cdot e^y=0\end{array}$$

所以：

$$x=0\Rightarrow (1)\Rightarrow y=1$$

$$x=0,y=1\Rightarrow (2)=y^{\prime }=e\Rightarrow$$

$$x=0,y=1,y^{\prime }=e\Rightarrow (3)\Rightarrow y^{\prime \prime }=2e^2.$$

(3) 求 $\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x$.

处理带有根号的被积函数时，可以不对根号做整体代换——例如，可以像下面的解析一样，只对根号中的内容做代换。此外，由于三角代换可能会在反代回来的时候产生复杂的运算，因此，除非很明显可以使用三角代换，否则一般不要优先尝试使用三角代换。

$$1+x^2=t\Rightarrow$$

两边同时求导：

$$2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$$

于是：

$$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=\int \frac{x(t-1)}{\sqrt{t}}\cdot \frac{1}{2x}\mathrm{d}t=$$

$$\frac{1}{2}\int \frac{t-1}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}[\int \frac{t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t-\int \frac{1}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t]=$$

$$\frac{1}{2}[\int t^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t-\int t^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t]=$$

$$\frac{1}{2}[\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}-2t^{\frac{1}{2}}]\Rightarrow$$

$$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}[\frac{2}{3}{(1+x^2)}^{\frac{3}{2}}-2{(1+x^2)}^{\frac{1}{2}}]=$$

$$\frac{1}{3}{(1+x^2)}^{\frac{3}{2}}-\sqrt{1+x^2}+C.$$

或者使用下面的计算方法：

$${(1+x^2)}^{\prime }=2x\Rightarrow$$

$$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{x(x^2+1-1)}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int \frac{(x^2+1)-1}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}(x^2+1)\Rightarrow$$

$$t=x^2+1\Rightarrow \frac{1}{2}\int \frac{t-1}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$$

之后的计算过程就和前面一样了。

(4) 求 ${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}\mathrm{d}x$.

方法一：反向三角代换

$$t=\sin x\Rightarrow x\in (0,\pi ),t\in (0,1)$$

$$x=\arcsin t\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}\mathrm{d}x=2{\int }_0^1\sqrt{1-t}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}\mathrm{d}x=2{\int }_0^1\sqrt{1-t}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t$$

这里需要注意的是，上面的式子都乘以了 “$2$” 是因为当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时，和当 $t\in (0,\pi )$ 一样，都对应着 $t\in (0,1)$.

因此 ${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}\mathrm{d}x$ $\ne$ ${\int }_0^1\sqrt{1-t}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t$, 只有 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-\sin x}\mathrm{d}x$ $=$ ${\int }_0^1\sqrt{1-t}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t$.

进而：

$$2{\int }_0^1\sqrt{1-t}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-t}\cdot \sqrt{1+t}}\mathrm{d}t=$$

$$2{\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1+t}}\mathrm{d}t=$$

$${2\cdot 2\cdot \sqrt{1+t}|}_0^1=4(\sqrt{2}-1).$$

方法二：倍角公式

由于：

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\Rightarrow$$

$$1-\sin x=1-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=$$

$${\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=$$

$${(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2})}^2$$

因此：

$${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }\sqrt{{(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2})}^2}\mathrm{d}x=$$

去根号要注意看是否需要加绝对值：

$${\int }_0^{\pi }|\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}|\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$x\in (0,\frac{\pi }{2})\Rightarrow \cos x>\sin x\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\pi }(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})\mathrm{d}x=$$

$$2{\int }_0^{\pi }\cos \frac{x}{2}\mathrm{d}\left(\frac{x}{2}\right)-2{\int }_0^{\pi }\sin \frac{x}{2}\mathrm{d}\left(\frac{x}{2}\right)=$$

$${2\sin \frac{x}{2}|}_0^{\pi }+{2\cos \frac{x}{2}|}_0^{\pi }=$$

$$2(\sqrt{2}-0)+2(\sqrt{2}-1)=4\sqrt{2}-2$$

(5) 求微分方程 $(y-x^3)\mathrm{d}x-2x\mathrm{d}y=0$ 的通解.

先变形：

$$(y-x^3)\mathrm{d}x-2x\mathrm{d}y=0\Rightarrow$$

$$y\mathrm{d}x-x^3\mathrm{d}x-2x\mathrm{d}y=0\Rightarrow$$

$$y-x^3-2x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0\Rightarrow$$

$$\frac{x^3}{2x}-\frac{1}{2x}{x}^2+\frac{1}{2x}y=0\Rightarrow$$

$$-y^{\prime }–\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2x}y=0\Rightarrow$$

$$y^{\prime }-\frac{1}{2x}{y}^{\frac{1}{2}}=\frac{-1}{2}{x}^2\Rightarrow$$

套公式：

$$y^{\prime }=[\int \frac{-1}{2}{x}^2{e}^{\int \frac{-1}{2x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+c]e^{\int \frac{1}{2x}\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$e^{\int \frac{-1}{2x}\mathrm{d}x}=e^{\frac{-1}{2}\ln x}=x^{\frac{-1}{2}}$$

$$e^{\int \frac{1}{2x}\mathrm{d}x}=e^{\frac{1}{2}\ln x}=x^{\frac{1}{2}}$$

$$y=\frac{-1}{5}{x}^3+C\sqrt{x}$$