1991 年考研数二真题解析

七、解答题 (本题满分 9 分)

如图 04, $A,D$ 分别是曲线 $y={\mathrm{e}}^x$ 和 $y={\mathrm{e}}^{-2x}$ 上的点, $AB$ 和 $DC$ 均垂直 $x$ 轴, 且 $|AB|:|DC|=2:1,|AB|<1$. 求点 $B$ 和 $C$ 的横坐标, 使梯形 $ABCD$ 的面积最大.

$$|AB|=e^{x_1},|CD|=e^{-2x_2}$$

注意：

$$|AB|\ne e^{-2x_1}|CD|\ne e^{x_2}$$

进而：

$$|AB|=2|CD|\Rightarrow e^{x_1}=2e^{-2x_2}\Rightarrow$$

$$x_1={\log }_{e}2e^{-2x_2}=\ln \left(2e^{-2x_2}\right)\Rightarrow$$

$$x_1=\ln 2-2x_2\Rightarrow$$

$$S=\frac{1}{2}(|AB|+|CD|)(x_2-x_1)\Rightarrow$$

$$S=\frac{1}{2}\left(3e^{-2x_2}\right)(x_2-\ln 2+2x_2)\Rightarrow$$

$$f(x_1=\frac{1}{2}\left(3e^{-2x_1}\right)(3x_1-\ln 2)\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{3}{2}\cdot (-2)e^{-2x}(3x-\ln 2)+$$

$$\frac{3}{2}\cdot e^{-2x}\cdot 3\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow -2(3x-\ln 2)+3=0\Rightarrow$$

$$-6x+2\ln 2+3=0\Rightarrow$$

$$x=\frac{1}{6}(2\ln 2+3)\Rightarrow x=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{2}$$

由于计算 $f^{\prime \prime }(x)$ 后再判断是否是极大值太复杂，因此可以采用下面的方法判断是否是极大值：

$$x<\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{2}\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$$

$$x>\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{2}\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$$

综上可知，当 $x_2=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{2}$, $x_1=\frac{1}{3}\ln 2-1$ 时取得最大的面积。