1991 年考研数二真题解析

六、解答题 (本题满分 9 分)

曲线 $y=(x-1)(x-2)$ 和 $x$ 轴围成一平面图形, 求此平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转体的体积.

注意：这是围绕 $Y$ 轴旋转，而不是围绕 $X$ 轴旋转。

$$y=0\Rightarrow x=1,x=2\Rightarrow$$

$$V=2\pi {\int }_1^{2}x|(x-1)(x-2)|\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$V=-2\pi {\int }_1^{2}x(x-1)(x-2)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$V=-2\pi {\int }_1^2(x^3-3x^2+2x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$V=-{2\pi (\frac{1}{4}{x}^4-3\cdot \frac{1}{3}{x}^3+x^2)|}_1^2\Rightarrow$$

$$V=-2\pi [(4-8+4)-(\frac{1}{4}-1+1)]\Rightarrow$$

$$V=-2\pi [0-\frac{1}{4}]=\frac{\pi }{2}$$