六、解答题 (本题满分 9 分)
曲线 $y=(x-1)(x-2)$ 和 $x$ 轴围成一平面图形, 求此平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转体的体积.
注意：这是围绕 $Y$ 轴旋转，而不是围绕 $X$ 轴旋转。
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y=0 \Rightarrow x=1, x=2 \Rightarrow
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V=2 \pi \int_{1}^{2} x|(x-1)(x-2)| \mathrm{~ d} x \Rightarrow
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V=-2 \pi \int_{1}^{2} x(x-1)(x-2) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
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V=-2 \pi \int_{1}^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}+2 x\right) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
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V=-\left.2 \pi\left(\frac{1}{4} x^{4}-3 \cdot \frac{1}{3} x^{3}+x^{2}\right)\right|_{1} ^{2} \Rightarrow
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V=-2 \pi\left[(4-8+4)-\left(\frac{1}{4}-1+1\right)\right] \Rightarrow
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V=-2 \pi\left[0-\frac{1}{4}\right]=\frac{\pi}{2}
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