四、证明题 (本题满分 9 分)
利用导数证明: 当 $x>1$ 时, $\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}$.
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\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x} \Leftrightarrow
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(1+x) \ln (1+x)>x \ln x \Rightarrow
$$
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f(x)=x \ln x \Rightarrow f^{\prime}(x)=\ln x+1 \Rightarrow
$$
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x>1 \Rightarrow f^{\prime}(x)>0 \Rightarrow
$$
$$
(1+x) \ln (1+x)>x \ln x \Leftrightarrow
$$
$$
\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{\ln x}
$$