1991 年考研数二真题解析

四、证明题 (本题满分 9 分)

利用导数证明: 当 $x>1$ 时, $\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}$.

$$\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}\iff$$

$$(1+x)\ln (1+x)>x\ln x\Rightarrow$$

$$f(x)=x\ln x\Rightarrow f^{\prime }(x)=\ln x+1\Rightarrow$$

$$x>1\Rightarrow f^{\prime }(x)>0\Rightarrow$$

$$(1+x)\ln (1+x)>x\ln x\iff$$

$$\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{\ln x}$$