1991数二真题解析：引力的计算公式、第七大题的图有迷惑性- 荒原之梦

二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分)

(1) 若曲线 $y = x^{2} + a x + b$ 和 $2 y = - 1 + x y^{3}$ 在点 $(1, - 1)$ 处相切, 其中 $a, b$ 是常数, 则

(A) $a = 0, b = - 2$ .
(B) $a = 1, b = - 3$ .
(C) $a = - 3, b = 1$ .
(D) $a = - 1, b = - 1$ .

正确选项：D

$y = x^{2} + a x + b \Rightarrow y^{'} = 2 x + a$

$2 y = - 1 + x y^{3} \Rightarrow 2 y^{'} = y^{3} + 3 x y^{2} \cdot y^{'} \Rightarrow$

$y^{'} (2 - 3 x y^{2}) = y^{3} \Rightarrow y^{'} = \frac{y^{3}}{2 - 3 x y^{2}} \Rightarrow$

$2 x + a = \frac{y^{3}}{2 - 3 x y^{2}} \Rightarrow x = 1, y = - 1 \Rightarrow$

$2 + a = \frac{- 1}{2 - 3} = 1 \Rightarrow a = - 1$

$x = 1, y = - 1 \Rightarrow y = x^{2} + a x + b \Rightarrow$

$- 1 = 1 + a + b \Rightarrow - 1 = b$

(2) 设函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{2}, 0 ⩽ x ⩽ 1, \\ 2 - x, 1 < x ⩽ 2, \end{cases}$ 记 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t, 0 ⩽ x ⩽ 2$ , 则

(A) $F (x) = {\begin{cases} \frac{x^{3}}{3}, & 0 ⩽ x ⩽ 1, \\ \frac{1}{3} + 2 x - \frac{x^{2}}{2}, & 1 < x ⩽ 2 . \end{cases}$
(B) $F (x) = {\begin{cases} \frac{x^{3}}{3}, & 0 ⩽ x ⩽ 1, \\ - \frac{7}{6} + 2 x - \frac{x^{2}}{2}, & 1 < x ⩽ 2 . \end{cases}$
(C) $F (x) = {\begin{cases} \frac{x^{3}}{3}, & 0 ⩽ x ⩽ 1, \\ \frac{x^{3}}{3} + 2 x - \frac{x^{2}}{2}, & 1 < x ⩽ 2 . \end{cases}$
(D) $F (x) = {\begin{cases} \frac{x^{3}}{3}, & 0 ⩽ x ⩽ 1, \\ 2 x - \frac{x^{2}}{2}, & 1 < x ⩽ 2 . \end{cases}$

正确选项：B

$0 \leq x \leq 1 \Rightarrow$

$F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t = \int_{0}^{x} t^{2} d t = \frac{1}{3} x^{3}$

$1 < x ⩽ 2 \Rightarrow F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t =$

$\int_{0}^{1} f (t) d t + \int_{1}^{x} f (t) d t =$

$\int_{0}^{1} t^{2} d t + \int_{1}^{x} (2 - t) d t =$

$\frac{1}{3} + 2 x - \frac{1}{2} x^{2} - 2 + \frac{1}{2} =$

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - \frac{7}{6}$

(3) 设函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内有定义, $x_{0} \neq 0$ 是函数 $f (x)$ 的极大值点, 则

(A) $x_{0}$ 必是 $f (x)$ 的驻点.
(B) $- x_{0}$ 必是 $- f (- x)$ 的极小值点.
(C) $- x_{0}$ 必是 $- f (x)$ 的极小值点.
(D) 对一切 $x$ 都有 $f (x) ⩽ f (x_{0})$ .

正确选项：B

极值点不一定是可导的，A 选项错；
$- f (x)$ 的极小值点应该是 $x_{0}$ , $- x_{0}$ 不一定是极值点，C 选项错；
极大值并不一定是最大值，D 选项错。

(4) 设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1, 1), (- 1, 1)$ 和 $(- 1, - 1)$ 为顶点的三角区域, $D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分, 则 $\iint_{D} (x y + \cos x \sin y) d x d y$ 等于

(A) $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y d x d y$ .
(B) $2 \iint_{D_{1}} x y d x d y$ .
(C) $4 \iint_{D_{1}} (x y + \cos x \sin y) d x d y$ .
(D) $0$ .

正确选项：A

参考文章：《根据一重积分奇偶对称的性质记忆二重积分奇偶对称的性质》

根据题目我们可以绘制出如下示意图，并将积分区域 $D$ 划分为 $D_{1}$ , $D_{2}$ , $D_{3}$ 和 $D_{4}$ 四个部分：

于是：

$\iint_{D} (x y - \cos x \sin y) d x d y \Rightarrow$

$I_{1} = \iint_{D} x y d x d y I_{2} = \iint_{D} \cos x \sin y d x d y$

$\iint_{D_{1} + D_{2}} x y = 0 \iint_{D_{3} + D_{4}} x y = 0$

$\iint_{D_{1} + D_{2}} \cos x \sin y = 2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y$

$\iint_{D_{3} + D_{4}} \cos x \sin y = 0$

(5) 如图 02, $x$ 轴上的一线密度为常数 $μ$ , 长度为 $l$ 的细杆, 有一质量为 $m$ 的质点到杆右端的距离为 $a$ , 已知引力系数为 $k$ , 则质点和细杆之间引力的大小为

(A) $\int_{- l}^{0} \frac{k m μ d x}{(a - x)^{2}}$ .
(B) $\int_{0}^{l} \frac{k m μ d x}{(a - x)^{2}}$ .
(C) $2 \int_{- \frac{l}{2}}^{0} \frac{k m μ d x}{(a + x)^{2}}$ .
(D) $2 \int_{0}^{\frac{l}{2}} \frac{k m μ d x}{(a + x)^{2}}$ .