1991数二真题解析：引力的计算公式、第七大题的图有迷惑性- 荒原之梦

前言

在本文中，荒原之梦网从考试实战的角度出发，详细解析了考研数学二【1991】年的真题。

注意事项：
1. 按照原试卷结构，每页一类题，点击页码可以切换；
2. 蓝色部分为题干。

一、填空题 (本题满分 15 分, 每小题 3 分)

(1) 设 $y = \ln (1 + 3^{- x})$ , 则 $d y =$

$\frac{d y}{d x} = \frac{- \ln 3 \cdot 3^{- x}}{1 + 3^{- x}} d x = \frac{- \ln 3}{3^{x} + 1} d x$

注意： ${(e^{x})}^{'}$ $=$ $\ln e \cdot e^{x}$

(2) 曲线 $y = e^{- x^{2}}$ 的上凸区间是

$y = e^{- x^{2}} \Rightarrow y^{'} = - 2 x e^{- x^{2}} \Rightarrow$

$y^{''} = - 2 (e^{- x^{2}} - 2 x^{2} e^{- x^{2}}) \Rightarrow$

$y^{''} < 0 \Rightarrow e^{- x^{2}} (1 - 2 x^{2}) > 0 \Rightarrow$

$1 - 2 x^{2} > 0 \Rightarrow 1 > 2 x^{2} \Rightarrow x^{2} < \frac{1}{2} \Rightarrow$

$x \in (\frac{- \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

(3) $\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln x}{x^{2}} d x =$

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln x}{x^{2}} d x = - \int_{1}^{+ \infty} \ln x d (\frac{1}{x}) =$

$- [{\frac{\ln x}{x} |}_{1}^{+ \infty} - \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x] =$

$- [{\frac{\ln x}{x} |}_{1}^{+ \infty} + {\frac{1}{x} |}_{1}^{+ \infty}] = 1$

(4) 质点以 $t \sin t^{2}$ 米/秒做直线运动, 则从时刻 $t_{1} = \sqrt{\frac{π}{2}}$ 秒到 $t_{2} = \sqrt{π}$ 秒内质点所经过的路程等于（）米.

$\int_{t_{1}}^{t_{2}} t \sin t^{2} d t = \frac{1}{2} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sin t^{2} d (t^{2}) \Rightarrow$

$u = t^{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin u d u = {\frac{- 1}{2} \cos u |}_{\frac{π}{2}}^{π} =$

$\frac{- 1}{2} (- 1 - 0) = \frac{1}{2}$

(5) $lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - e^{\frac{1}{x}}}{x + e^{\frac{1}{x}}} =$

错误的解法（ $x \to 0^{+}$ ）：

$\frac{1 - e^{\frac{1}{x}}}{x + e^{\frac{1}{x}}} = \frac{1 - 1}{0 + 1} = \frac{0}{1} = 0$

错误的原因：若将加减运算中的无穷小量直接写为 $0$ 后发现结果【等于零】，则就【不能】将这些无穷小量直接写为 $0$ .

正确解法（若将加减运算中的无穷小量直接写为 $0$ 后发现结果【不等于零】，则就【可以】将这些无穷小量直接写为 $0$ ）：

$\frac{1 - e^{\frac{1}{x}}}{x + e^{\frac{1}{x}}} = \frac{e^{\frac{1}{x}} (\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}} - 1)}{e^{\frac{1}{x}} (\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}} + 1)} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = - 1$

注意： ${(\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}})}^{'}$ $=$ $\frac{1}{\frac{- 1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}}} = \frac{x^{2}}{- 1} = 0$

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